Электрические цепи трехфазного тока

Сборник задач по физике
Электрический ток
Волновая оптика
Электромагнетизм
Варианты контрольной работы
Закон Ома для однородного участка
цепи
Правила Кирхгофа
Электромагнитная индукция
Электромагнитные волны
Цепь переменного тока
Кинематика материальной точки
Методика решения задач по кинематике
Магнитное поле в веществе
Классификация магнетиков
Основы электронной теории магнетизма
Парамагнетизм. Закон Кюри
Основы электродинамики
Уравнения Максвелла
Свободные затухающие колебания
Вынужденные электрические колебания
Резонансные явления в
колебательном контуре
Оптика Ньютона
Квантовые свойства света
Интерференция световых волн
Дифракция света
Поляризация света
Тепловое излучение
Измерение силы тока и напряжения
в цепях постоянного тока
Математика
Теория функций
комплексной переменной
Неопределённый, несобственный
и двойной интеграл
Матричный метод решения
систем линейных уравнений
Вычисление объёма тела
Векторная алгебра
Матрицы и определители
Операции над множествами
Действительные числа
Последовательность
Предел функции
Решение задач на вычисление
пределов
Задачи, приводящие
к понятию производной
Производные и дифференциалы
высших порядков
Нахождение пределов с помощью
формулы Тейлора
Комплексные числа.

Определенный интеграл

Действия над матрицами
Обратная матрица
Матричная запись
Прямая на плоскости
Уравнение прямой
Кривые второго порядка
Метод Гаусса
Метод Жордана – Гаусса
примеры пределов
исследование функции
Функции нескольких переменных
производные второго порядка
функции трех переменных
Понятие множества
Операции над множествами
Свойства операций над
множествами
Функции и отображения
Виды отображений
Мощность множеств.
Аксиоматика действительных
чисел
Числовые множества.
Принцип верхней грани.
Предел последовательности
Неограниченная
последовательность
Бесконечно малые
последовательности
Свойства предела
последовательности.
Арифметические операции
Фундаментальные
последовательности
Монотонные
последовательности
Подпоследовательность

Приложение
последовательностей
в экономике

Пример
Предел функции.
Критерий Коши
Непрерывные функции
Дифференциальное исчисление
Производная, интегралы
примеры решений
Исследовать функцию
Вычислить определитель
Методы интегрирования
Произведение матриц
Исследовать систему уравнений
Решить матричным способом
Найти обратную матрицу
Найти предел
последовательности
Рассмотрим задачу о
непрерывном
начислении процентов.
Исследовать на сходимость ряд
Теория поля
Формула интегрирования по
частям
Изменить порядок
интегрирования
Неопределенный интеграл в
экономике
Геометрические приложения
определенного интеграла
Контрольная работа
Вычислить длины дуг кривых
Тройной интеграл
Найти объем тела V
Вычислить работу векторного
поля
Вычисление несобственных
интегралов
экстремум функций двух
переменных
Вычислить производную функции
Метод интегрирования
подстановкой
Рационализация интегралов
Математическая модель
Проблемы при работе
с Adobe Illustrator
Советы при работе
с Adobe Illustrator
Печать в Illustrator
Сборочный чертеж
Параметры  резьбы
Соединение болтом
Соединение шпилькой
Сварные соединения
Общие  сведения о резьбе
Выполнить эскизы с натуры
чертеж сборочной единицы
Эскизирование деталей
Построить три вида детали
Графические работы
Основы электротехники
Задание к курсовой работе
Физические законы в электротехнике
Выбор типа выпрямителя и
трансформатора
Метод узловых и контурных уравнений
Расчёт трёхфазной цепи
Метод законов Кирхгофа
Электрические цепи переменного
синусоидального тока
Переменные ток в однородных
идеальных элементах
двухполюсник
Резонанс в сложных схемах
Топологические методы расчета
Электрические цепи трехфазного тока
Основные законы электрических цепей
Индуктивность
резонанс токов
Магнитные цепи
Определение магнитодвижущей силы
Трёхфазный трансформатор
Асинхронная машина
Выпрямители переменного тока
Однофазная схема выпрямления
Информатика
Парольная защита операционных систем
Криптографические ключи
Технологии программирования
Обработка информации

Технологии баз данных

Трехфазная система

Многофазной системой называется совокупность, состоящая из ”n” отдельных одинаковых электрических цепей или электрических схем, режимные параметры в которых (е, u, i) сдвинуты во времени на равные отрезки  или по фазе .

Отдельные части системы называются фазами. Термин ”фаза” в электротехнике имеет два смысловых значения: первое - как момент времени для синусоидальной функции тока или напряжения, второе - как часть многофазной системы. В технике нашли применение 2-х, 3-х, 6-и и более фазные системы. В электроэнергетике наибольшее распространение получила трехфазная система, обладающая рядом преимуществ перед системами с другим числом фаз.

Трехфазная система состоит из трех электрических цепей или электрических схем (фаз), параметры режима (u,i) в которых сдвинуты во времени на . Отдельные фазы трехфазной системы согласно ГОСТ обозначаются (именуются) заглавными латинскими буквами А, В, С (основное обозначение), или цифрами 1, 2, 3 (допустимое обозначение), или заглавными латинскими буквами R, S, T (международное обозначение). 

Основное свойство любых переменных функций (е, u, i) в симметричной трехфазной системе состоит в том, что сумма их мгновенных значений в любой момент времени равна нулю, например, еА + еВ + еС = 0. Найдем эту сумму для разных моментов времени:

;

;

.

Как следует из векторной диаграммы рис. 87, геометрическая сумма векторов фазных ЭДС также равна нулю:

.

Если нагрузка отдельных фаз равна между собой, т.е. , то фазные токи будут равны по модулю и сдвинуты по фазе относительно своих ЭДС (напряжений ) на один и тот же угол φ, а между собой, как и ЭДС, будут сдвинуты по фазе на 120о. Следовательно, фазные токи iА, iВ, iС образуют симметричную трехфазную систему и для них будут справедливы полученные ранее выводы: iА + iВ + iС = 0; IА + IВ + IС = 0.

Достоинства трехфазной системы:

Передача энергии от генератора к потребителям трехфазным током  наиболее выгодна экономически, чем при любом другом числе фаз. Например, по сравнению с двухпроводной системой достигается экономия проводов в два раза (3 провода вместо 6), соответственно уменьшаются потери энергии в проводах линии.

Трехфазная система позволяет технически просто получить круговое вращающееся поле, которое лежит в основе работы всех трехфазных машин (генераторов и двигателей).

Элементы трехфазной системы (генераторы, трансформаторы, двигатели) просты по конструкции, надежны в работе, имеют хорошие массогабаритные показатели, сравнительно дешевы, долговечны.

В трехфазном генераторе различают фазные и линейные напряжения. Фазными называются напряжения между началами и концами фазных обмоток или между одним из линейных выводов А, В, С и нулевым выводом N. Фазные напряжения равны фазным ЭДС: UА=ЕА, UВ=ЕВ, UС=ЕС (индекс N при фазных напряжениях опускается, так как φN = 0). Линейными называются напряжения между двумя линейными выводами А, В, С. Линейные напряжения равны векторной разности двух фазных напряжений: UАВ =UА -UВ; UВС =UВ -UС;  UСА =UС -UА .

  При расчете трехфазных цепей комплексным методом фазные и линейные напряжения генератора представляются в комплексной форме, при этом один из векторов системы принимают за начальный и совмещают его с вещественной осью, а остальные вектора получают начальные фазы согласно их углам сдвига по отношению к начальному вектору. На рис. 89а показан вариант представления напряжений трехфазного генератора в комплексной форме, когда за начальный вектор принимается фазное напряжение фазы А. В этом случае фазные напряжения генератора в комплексной форме получат вид : , , линейные напряжения: .

Способы соединения фаз трехфазных приемников.

Приемники трехфазного тока могут подключаться к генератору по двум схемам – звезды () и треугольника (). Как известно, на выходе трехфазного генератора получаются два напряжение (линейное и фазное), отличающиеся в Uл/Uф = раз. С другой стороны каждый приёмник энергии рассчитан на работу при определенном напряжении, которое называется номинальным. Схема соединения фаз приемника должна обеспечить подключение его фаз номинальное фазное напряжение. Таким образом, выбор схемы соединения фаз трехфазного приемника зависит от соотношения номинальных напряжений приемника и генератора (сети).

Схема звезды применяется в том случае, если номинальное напряжение приемника соответствует (равно) фазному напряжению генератора. При соединении в звезду концы фаз приемника объединяются в одну точку “n”, называемую нулевой или нейтральной, а начала фаз подключаются к линейным выводам трехфазного генератора А, В, С линейными проводами. Если нулевая точка приемника “n” соединена с нулевой точкой генератора “N” нулевым проводом, то схема получила название звезды с нулевым проводом (рис. 91а). При отсутствии нулевого провода схема носит название звезды без нулевого провода (рис. 91б).

При симметричной нагрузке  ток в нулевом проводе  и, следовательно, надобность в нeм отпадает. Симметричные трехфазные приемники (например, трехфазные электродвигатели) включаются по схеме звезды без нулевого провода.

При несимметричной нагрузке относительная величина тока в нулевом проводе зависит от характера и степени не симметрии фазных токов. Как правило, трехфазные приёмники стремятся спроектировать по возможности близкими к симметричным, поэтому ток в нулевом проводе в реальных условиях значительно меньше линейных (фазных) токов.

В схеме звезды без нулевого провода (рис. 91б) при любой нагрузке фаз должно выполняться условие первого закона Кирхгофа:

.

Из уравнения следует вывод, что изменение одного из токов влечет изменение двух других токов, то есть отдельные фазы работают в зависимом друг от друга режиме. При несимметричной нагрузке потенциал нулевой точки приемника Un становится не равным нулю, он “смещается” на комплексной плоскости с нулевого положения, при этом фазные напряжения приемника () не равны соответствующим фазным напряжениям генератора (), происходит так называемый перекос фазных напряжений приемника (рис. 93).

Схема треугольника применяется в том случае, если номинальное фазное напряжение приемника соответствует (равно) линейному напряжению генератора. При соединении в треугольник конец каждой фазы соединяется с началом последующей, а точки соединения (вершины треугольника) подключаются к линейным выводам трехфазного генератора А, В, С линейными проводами (рис.94).

Токи, протекающие в фазах приемника по направлению от их начал к концам, называются фазными (). Токи, протекающие в линейных проводах по направлению от генератора к приемнику, называются линейными ().

 

В схеме треугольника фазные и линейные напряжения приемника тождественно равны (). В этой схеме к каждой фазе приемника подводится непосредственно линейное напряжение генератора, при этом отдельные фазы работают независимо друг от друга. Фазные токи определяются по закону Ома:

Расчет сложных трехфазных цепей

Сложная трехфазная цепь, например, объединенная энергосистема, может содержать большое число трехфазных генераторов, линий электропередачи, приемников трехфазной энергии. Схема такой цепи представляет собой типичный пример сложной цепи переменного тока. Установившейся режим в такой схеме может быть описан системой алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами, составленных по одному из методов расчета сложных цепей (метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов). Наиболее рациональным методом расчета таких трехфазных цепей является метод узловых потенциалов, при этом составление уравнений и их решение производится в матричной форме.

В более простых случаях возможно применение любых методов расчета, позволяющих получить экономичное решение задачи. На рис. 96 представлена схема параллельного подключения нескольких трехфазных приемников с различными схемами соединения фаз к одному генератору. В представленной схеме расчет фазных и линейных токов каждого из приемников может выполняться индивидуально и независимо друг от друга, а линейные токи источника определяются как геометрические суммы токов всех приемников, например, .

Следовательно, независимо от схемы соединения (звезда или треугольник) для симметричной трехфазной цепи формулы для мощностей имеют одинаковый вид:

  [Вт],

 [вар],

  [ВА].

В приведенных формулах для мощностей трехфазной цепи подразумеваются линейные значения величин U и I, но индексы при их обозначениях не ставятся.

Активная мощность в электрической цепи измеряется прибором, называемым ваттметром, показания которого определяется по формуле:

, где Uw, Iw - векторы напряжения и тока, подведенные к обмоткам прибора.

 

Для измерения активной мощности всей трехфазной цепи в зависимости от схемы соединения фаз нагрузки и ее характера применяются различные схемы включения измерительных приборов.

Для измерения активной мощности симметричной трехфазной цепи применяется схема с одним ваттметром, который включается в одну из фаз и измеряет активную мощность только этой фазы (рис. 99). Активная мощность всей цепи получается путем умножения показания ваттметра на число фаз: . Схема с одним ваттметром может быть использована только для ориентированной оценки мощности и неприменима для точных и коммерческих измерений.

Для измерения активной мощности в четырехпроводных трехфазных цепях (при наличии нулевого провода) применяется схема с тремя приборами (рис. 100), в которой производится измерение активной мощности каждой фазы в отдельности, а мощность всей цепи определяется как сумма показаний трех ваттметров:

.

Вращающееся магнитное поле

Одним из важнейших достоинств трехфазной системы является возможность получения с ее помощью кругового вращающегося магнитного поля, которое лежит в основе работы трехфазных машин (генераторов и двигателей).

Для получения кругового вращающегося магнитного поля необходимо и достаточно выполнить два условия. Условие первое: необходимо 3p одинаковых катушки (p =1, 2, 3,….) расположить в пространстве так, чтобы их оси были расположены в одной плоскости и сдвинуты взаимно на равные углы ∆α=360o/3p. Условие второе: необходимо пропустить по катушкам равные по амплитуде и сдвинутые во времени на ∆t=T/3 или ∆ωt = 360o/3=120o переменные токи (симметричный трехфазный ток). При соблюдении указанных условий в пространстве вокруг катушек будет создано круговое вращающееся магнитное поле с постоянной амплитудой индукции Вmax вдоль его оси и с постоянной угловой скоростью вращения ωп.

На рис. 103 показано пространственное расположение трех (p = 1) одинаковых катушек под равными углами в 120o согласно первому условию.

По катушкам, по направлению от их начал (A, B, C) к концам (X, Y, Z) протекает симметричный трехфазный ток:

iA = Im×sin(wt+0),

iB = Im×sin(wt-1200),

iC = Im×sin(wt+1200).

Результирующий вектор индукции магнитного поля B для любого момента времени может быть найден путем пространственного сложения векторов BA, BB, BC отдельных катушек. Определим значение результирующего вектора индукции магнитного поля B для нескольких моментов времени ωt = 00; 300; 600. Пространственное сложение векторов  выполним графически (рис. 104а, б, в ). Результаты расчета сведены в отдельную таблицу:

wt

BA

BB

BC

B

a

0

0

-/2×Bm

/2×Bm

3/2×Bm

0

30

1/2×Bm

-Bm

1/2×Bm

3/2×Bm

300

60

/2×Bm

-/2×Bm

0

3/2×Bm

600

Частоту вращения магнитного поля можно изменять плавно изменением частоты питающего тока f, и ступенчато - изменением числа пар полюсов p. В промышленных условиях оба способа регулирования частоты вращения поля являются технически и экономически малоэффективными. При постоянной частоте промышленного тока f=50 Гц шкала синхронных частот вращения магнитного поля в функции числа пар полюсов выглядит следующим образом:

р, пар пол.

1

2

3

4

5

6

n, об/мин

3000

1500

1000

750

600

500

На рис. 1 представлены симметричные составляющие некоторой несимметричной рехфазной системы напряжений UA,UB,UC.

В методе симметричных составляющих для упрощения формы записи уравнений пользуются коэффициентом (поворотный множитель),  умножением на который поворачивают вектор на угол в 1200 без изменения его модуля. Свойства поворотного множителя: .

Используя поворотный множитель “a” и “a2”, выразим все слагаемые правой части уравнений через симметричные составляющие фазы А:

 

Умножим все члены уравнения (2) на “a”, а все члены уравнения (3) на “a2”, сложим все три уравнения почленно и получим:

Из полученного уравнения следует формула для выделения симметричной составляющей прямой последовательности из несимметричной системы векторов:

.

Умножим все члены уравнения (2) на “a2”, а все члены уравнения (3) на “a”, сложим все три уравнения почленно и получим:

Расчет режима симметричной трехфазной нагрузки при несимметричном напряжении

Пусть к симметричному трехфазному приемнику, например электродвигателю, приложена несимметричная система напряжений UA, UB, UC. Для получения общих закономерностей введем в схему нулевой провод с сопротивлением ZN. Схема цепи примет вид (рис. 108):

Расчет токов коротких замыканий в энергосистеме методом симметричных составляющих

В результате различного вида коротких замыканий в сложной энергосистеме возникает несимметричный режим. Расчет токов коротких замыканий в различных точках энергосистемы является важной инженерной задачей. Также расчеты выполняются методом симметричных составляющих.

В качестве примера рассмотрим определение тока однофазного короткого замыкания на землю в заданной точке простейшей энергосистемы. Символьная схема энергосистемы показана на рис. 110. Короткое замыкание фазы А на землю происходит в конце линии электропередачи.

Далее в соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе производится свертка расчетных схем для каждой из симметричных составляющих относительно выводов несимметричного участка ab. В результате свертки получаются простейшие одноконтурные схемы (рис. 114а, б, в):

Для каждой из расчетных схем (рис. 114а, б, в) составляются уравнения по 2-му закону Кирхгофа:

 (1)

  (2)

  (3)

В полученной системе уравнений Кирхгофа содержится 6 неизвестных величин (IA1, IA2, IA0, UA1, UA2, UA0) и ее непосредственное решение невозможно. Поэтому система уравнений Кирхгофа дополняется тремя недостающими уравнениями, вытекающими из вида короткого замыкания. В рассматриваемом примере в точке короткого замыкания напряжение фазы А равно нулю (UA = 0), а также токи фаз В и С равны нулю (IB = IC = 0). Дополнительные уравнения будут иметь вид:

Фильтры симметричных составляющих

Фильтрами симметричных составляющих называются технические устройства или схемы, служащие для выделения соответствующих составляющих токов или напряжений из несимметричной трёхфазной системы векторов.

Напряжения и токи, выделяемые фильтрами симметричных составляющих, используются на практике в качестве входных величин для релейной защиты энергетических установок (генераторов, трансформаторов, линий электропередачи) от несимметричных режимов, возникающих в результате коротких замыканий, или для соответствующей сигнализации о несимметричном режиме.

Фильтр напряжений обратной последовательности реализуется схемой рис. 116 при следующих соотношениях между параметрами элементов: , , .

Напряжение на отдельных участках схемы с учетом заданных соотношений между парамтрами элементов:

Выходное напряжение фильтра:

Преобразуем формулу для напряжения обратной последоватеоьности путем добавления и вычитания члена :

Математика вычисление производной