Теория функций комплексной переменной Неопределённый, несобственный и двойной интеграл

Объёмы тел вращения.

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело  расположено в пространстве между плоскостями  и , и для  известна площадь его поперечного сечения . Требуется определить объём этого тела.

 Рассечём это тело плоскостями   на  слоёв (), на каждом из отрезков  возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями  и  приближённо равен объёму  цилиндрика с площадью основания  и высотой : . Сумма объёмов  - объём ступенчатой фигуры - при  стремится к искомому объёму , поэтому .

 Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём  получается в результате вращения кривой , , вокруг оси , то, очевидно, , поэтому .

 Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса  вокруг оси .

 Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: . Верхняя дуга эллипса получается при изменении  от 0 до , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра , равное , крайней правой точке соответствует значение . Формула  для кривой, заданной параметрически, примет вид , поэтому .

Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой  и двумя полярными радиусами  и , вокруг полярной оси находится по формуле . Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности  вокруг полярной оси.

Решение:

.

  Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры  вокруг оси , рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса , толщины , высоты . Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности  на толщину и высоты ; суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим .

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов взятых от переменных. Например: Замечание: кратный интеграл это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число.
Элементы земного магнетизма http://nashataverna.ru/ Математика Вычисление объёма тела интегрирование