Неопределённый, несобственный и двойной интеграл

Неопределённый интеграл.

Первообразная функция. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Простейшие правила интегрирования

Замена переменной в неопределённом интеграле ( интегрирование подстановкой).

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные.

Интегралы , где  - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x)

Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен .

Интегралы вида  () с помощью той же операции ( выделение полного квадрата) приводятся к одному из табличных интегралов

Интегралы вида  () берутся с применением той же техники

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование простых дробей. Определение рациональных функций и простых дробей: Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов

  Примеры

Интегрирование функций, рационально зависящих от .

Частные тригонометрические подстановки

Интегрирование произведения чётных степеней sin x, cos x.

Тригонометрические подстановки для интегралов вида .

Несобственные интегралы.

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при  удовлетворяют неравенствам .

 

. На всём промежутке интегрирования ; интеграл  сходится (), поэтому исходный интеграл сходится

Признак сравнения в предельной форме

Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе  рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости.

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость

Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что   расходится.

Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода). Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.

Особенность на правом конце промежутка интегрирования

Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница:   - расходится, так как первообразная  обращается в бесконечность в точке x = -1.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Приложения определенного интеграл.

Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем. В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше. Кардиоида .

Площадь плоской области.

 Декартовы координаты. Геометрический смысл определённого интеграла

Найти площадь, ограниченную лемнискатой .

Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды  вне окружности .

Область ограничена кривыми, заданными параметрически.

Вычисление длин кривых

Кривая задана параметрически .

Объёмы тел вращения.

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений .

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси   дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Двойной интеграл. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).

Геометрический смысл двойного интеграла

Аддитивность

Теоремы об оценке интеграла

Вычисление двойного интеграла.

Двукратный (повторный) интеграл. Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному

Теорема о замене переменных в двойном интеграле.

Двойной интеграл в полярных координатах.

Задачи на двойной интеграл.

Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры  (в декартовых координатах) и  (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному.

Этот пример проще решается по второй формуле

Приложения двойного интеграла. Вычисление площадей плоских областей.

Вычисление объёмов. Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями z = f1(x,y), z = f2(x,y), , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, равен ; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

.

Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и .

Математика вычисление производной