Неопределённый, несобственный и двойной интеграл

Сборник задач по физике
Электрический ток
Волновая оптика
Электромагнетизм
Варианты контрольной работы
Закон Ома для однородного участка
цепи
Правила Кирхгофа
Электромагнитная индукция
Электромагнитные волны
Цепь переменного тока
Кинематика материальной точки
Методика решения задач по кинематике
Магнитное поле в веществе
Классификация магнетиков
Основы электронной теории магнетизма
Парамагнетизм. Закон Кюри
Основы электродинамики
Уравнения Максвелла
Свободные затухающие колебания
Вынужденные электрические колебания
Резонансные явления в
колебательном контуре
Оптика Ньютона
Квантовые свойства света
Интерференция световых волн
Дифракция света
Поляризация света
Тепловое излучение
Измерение силы тока и напряжения
в цепях постоянного тока
Математика
Теория функций
комплексной переменной
Неопределённый, несобственный
и двойной интеграл
Матричный метод решения
систем линейных уравнений
Вычисление объёма тела
Векторная алгебра
Матрицы и определители
Операции над множествами
Действительные числа
Последовательность
Предел функции
Решение задач на вычисление
пределов
Задачи, приводящие
к понятию производной
Производные и дифференциалы
высших порядков
Нахождение пределов с помощью
формулы Тейлора
Комплексные числа.

Определенный интеграл

Действия над матрицами
Обратная матрица
Матричная запись
Прямая на плоскости
Уравнение прямой
Кривые второго порядка
Метод Гаусса
Метод Жордана – Гаусса
примеры пределов
исследование функции
Функции нескольких переменных
производные второго порядка
функции трех переменных
Понятие множества
Операции над множествами
Свойства операций над
множествами
Функции и отображения
Виды отображений
Мощность множеств.
Аксиоматика действительных
чисел
Числовые множества.
Принцип верхней грани.
Предел последовательности
Неограниченная
последовательность
Бесконечно малые
последовательности
Свойства предела
последовательности.
Арифметические операции
Фундаментальные
последовательности
Монотонные
последовательности
Подпоследовательность

Приложение
последовательностей
в экономике

Пример
Предел функции.
Критерий Коши
Непрерывные функции
Дифференциальное исчисление
Производная, интегралы
примеры решений
Исследовать функцию
Вычислить определитель
Методы интегрирования
Произведение матриц
Исследовать систему уравнений
Решить матричным способом
Найти обратную матрицу
Найти предел
последовательности
Рассмотрим задачу о
непрерывном
начислении процентов.
Исследовать на сходимость ряд
Теория поля
Формула интегрирования по
частям
Изменить порядок
интегрирования
Неопределенный интеграл в
экономике
Геометрические приложения
определенного интеграла
Контрольная работа
Вычислить длины дуг кривых
Тройной интеграл
Найти объем тела V
Вычислить работу векторного
поля
Вычисление несобственных
интегралов
экстремум функций двух
переменных
Вычислить производную функции
Метод интегрирования
подстановкой
Рационализация интегралов
Математическая модель
Проблемы при работе
с Adobe Illustrator
Советы при работе
с Adobe Illustrator
Печать в Illustrator
Сборочный чертеж
Параметры  резьбы
Соединение болтом
Соединение шпилькой
Сварные соединения
Общие  сведения о резьбе
Выполнить эскизы с натуры
чертеж сборочной единицы
Эскизирование деталей
Построить три вида детали
Графические работы
Основы электротехники
Задание к курсовой работе
Физические законы в электротехнике
Выбор типа выпрямителя и
трансформатора
Метод узловых и контурных уравнений
Расчёт трёхфазной цепи
Метод законов Кирхгофа
Электрические цепи переменного
синусоидального тока
Переменные ток в однородных
идеальных элементах
двухполюсник
Резонанс в сложных схемах
Топологические методы расчета
Электрические цепи трехфазного тока
Основные законы электрических цепей
Индуктивность
резонанс токов
Магнитные цепи
Определение магнитодвижущей силы
Трёхфазный трансформатор
Асинхронная машина
Выпрямители переменного тока
Однофазная схема выпрямления
Информатика
Парольная защита операционных систем
Криптографические ключи
Технологии программирования
Обработка информации

Технологии баз данных

Неопределённый интеграл.

Первообразная функция. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Простейшие правила интегрирования

Замена переменной в неопределённом интеграле ( интегрирование подстановкой).

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные.

Интегралы , где  - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x)

Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен .

Интегралы вида  () с помощью той же операции ( выделение полного квадрата) приводятся к одному из табличных интегралов

Интегралы вида  () берутся с применением той же техники

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование простых дробей. Определение рациональных функций и простых дробей: Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов

  Примеры

Интегрирование функций, рационально зависящих от .

Частные тригонометрические подстановки

Интегрирование произведения чётных степеней sin x, cos x.

Тригонометрические подстановки для интегралов вида .

Несобственные интегралы.

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b] и при  удовлетворяют неравенствам .

 

. На всём промежутке интегрирования ; интеграл  сходится (), поэтому исходный интеграл сходится

Признак сравнения в предельной форме

Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе  рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости.

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость

Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что   расходится.

Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода). Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.

Особенность на правом конце промежутка интегрирования

Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница:   - расходится, так как первообразная  обращается в бесконечность в точке x = -1.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Приложения определенного интеграл.

Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем. В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше. Кардиоида .

Площадь плоской области.

 Декартовы координаты. Геометрический смысл определённого интеграла

Найти площадь, ограниченную лемнискатой .

Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды  вне окружности .

Область ограничена кривыми, заданными параметрически.

Вычисление длин кривых

Кривая задана параметрически .

Объёмы тел вращения.

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений .

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси   дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Двойной интеграл. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).

Геометрический смысл двойного интеграла

Аддитивность

Теоремы об оценке интеграла

Вычисление двойного интеграла.

Двукратный (повторный) интеграл. Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному

Теорема о замене переменных в двойном интеграле.

Двойной интеграл в полярных координатах.

Задачи на двойной интеграл.

Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры  (в декартовых координатах) и  (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному.

Этот пример проще решается по второй формуле

Приложения двойного интеграла. Вычисление площадей плоских областей.

Вычисление объёмов. Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями z = f1(x,y), z = f2(x,y), , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, равен ; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

.

Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и .

Генератор с параллельным возбуждением http://v-garant.ru/ Математика вычисление производной