Задачи, приводящие к понятию производной

Определенный интеграл решение задач курсовой работы

Определенный интеграл.

11.1. Определение.

 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке    задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь   трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .


Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание  фигуры точками  на  частей символом  будем обозначать длину -го отрезка: . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение  (это произведение равно площади прямоугольника  с основанием  и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим : .

 равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками , ; на левом рисунке эта площадь заштрихована.  не равна искомой площади , она только даёт некоторое приближение к . Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество  отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков  стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при  (слева) и при   (справа)). При  разница между  и  будет тоже стремиться к нулю, т.е.

 .

 11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке   задана функция . Разобьём отрезок  произвольным образом на  частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку  и составим сумму .

Сумма   называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка  на части , ни от выбора точек , то функция  называется интегрируемой по отрезку , а этот предел называется определённым интегралом от функции  по отрезку  и обозначается

 .

 Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа  и  - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: .

 В этом определении предполагается, что . Для других случаев примем, тоже по определению:

 Если , то ; если , то .

Неявная функция

Термин «неявная функция» относится к способу задания функциональной зависимости между  и  и означает, что вместо явной формулы  эта зависимость представлена уравнением .

Следует отметить, что уравнение  не всегда определяет функцию . Например, уравнение  функцию  не определяет.

Кроме того, уравнение не всегда позволяет однозначно выразить  через . Например, уравнение , задающее окружность на плоскости, определяет при  две непрерывные функции  и . В этом примере можно, например, дополнительно потребовать, чтобы выполнялось неравенство . Тогда мы получим только .

В общей ситуацц условия, при которых существует единственная функция , задаваемая уравнением  дает следующая теорема.

Теорема. Пусть  определена и непрерывна вместе с частными производными  и  в окрестности точки  такой, что  и . Тогда существуют числа  и  такие, что на множестве  уравнение  (1) равносильно уравнению  (2), где  - непрерывная и дифференцируемая на  функция, и .

 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке   задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь   трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .

Теорема существования определённого интеграла. Если функция  непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку.

 Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого  найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек , . Требование непрерывности  достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на  при условии их ограниченности. Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если  неограничена на , то она неограничена на каком-либо , т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

Теоремы об оценке интеграла.

5.1. Если на отрезке  функция удовлетворяет неравенству , то .

 Док-во. Докажем левое неравенство ( цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.

5.2. Если функция  интегрируема по отрезку , то .

Док-во. .

Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если  - непрерывно дифференцируемые функции, то .

 Док-во. Интегрируем равенство  в пределах от  до : . Функция в левом интеграле имеет первообразную , по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

  Пример: .

 11.3.4. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

,

функция  непрерывна на отрезке .

Интегральная сумма. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона - Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла.
Начертательная геометрия http://hisd.ru/ Нахождение пределов примеры решения задач