Задачи, приводящие к понятию производной

Исследование функций решение задач курсовой работы

Применение формулы Тейлора для нахождения пределов и приближённых вычислений.

Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Рассмотрим примеры:

. Так как в знаменателе стоит х5, то при представлении функций, стоящих в числителе, по формуле Маклорена, мы должны брать многочлены не ниже пятой степени: ;  (следующий член разложения имеет шестую степень) ,

2. . Здесь мы в выкладках обязаны удерживать члены до четвёртой степени:

поэтому .

  7.9.2. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора. В разделе 6.8.4 Применение дифференциала в приближённых вычислениях мы пользовались выражением у(x+Dх) @ у(x)+ у'(x) Dх, которое, как теперь очевидно, содержит два первых члена формулы Тейлора. Формула Тейлора обобщает это выражение; она позволяет проводить более точные вычисления и оценивать точность этих вычислений. Рассмотрим следующий пример: требуется вычислить sin1 с погрешностью, не превышающей 0,00001. Остаточный член в форме Лагранжа для функции  имеет вид, следовательно . Подбором находим, что , следовательно, мы должны взять степени х вплоть до седьмой:

Замечание. По аналогии можно доказать следующую теорему.

Теорема. Пусть  определена в открытой области  и имеет в этой области всевозможные частные производные до -го порядка включительно и смешанные производные -го порядка, причем все эти производные непрерывны в . При этих условиях значение любой -й смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится последовательное дифференцирование.

Например,  и т.п.

Исследование функций и построение их графиков.

Условие постоянства функции.

 Теор.8.1. Пусть функцияимеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была постоянной на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия  для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) постоянная на , то  для .

Достаточность. Пусть  для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. значения функции в двух любых точках интервала совпадают, следовательно, .

8.2. Условия монотонности функции.

Экстремумы функции, необходимое условие.

 В разделе 7.1. Теорема Ферма мы определили понятия локальных минимума, максимума (общее название - экстремумы) функции, и доказали, что если в точке внутреннего экстремума функции  существует производная , то . Таким образом получаем

8.4.2. Второй достаточный признак экстремума (в стационарной точке, по знаку второй производной). Пусть функция  в стационарной точке имеет не только первую, но и вторую производную. Тогда если , то  - точка минимума, если , то  - точка максимума.

Это правило непосредственно следует из теоремы 7.1.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции и из первого достаточного признака экстремума 8.4.1: если  - стационарная точка (), и , то производная  возрастает в точке . Так как , то  отрицательна при  и положительна при  в некоторой окрестности точки , т.е. меняет знак с "-" на "+" при переходе через критическую точку , следовательно,  - точка минимума. Если  - стационарная точка, и , то совершенно также доказывается, что  - точка максимума.

8.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

8.5.1. Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции.

 Самый простой вид зависимости одной переменной от другой - линейная зависимость, поэтому из всего множества функций выделяют функции, имеющие асимптоты, т.е. функции, графики которых при удалении точки от начала системы координат сколь угодно близко приближаются к некоторой прямой.

 Опр.8.6.1. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов  или  равен  или .

Из этого определения следует, что прямая  может быть вертикальной асимптотой графика функции  только в случае, когда точка  - точка разрыва второго рода этой функции.

Схема исследования функций и построения графиков.

  Сведём рассмотренные в этом разделе отдельные элементы в один алгоритм, с помощью которого исследуются функции и строятся их графики.

Общий характер функции:

область определения функции и, если это возможно, область её значений;

наличие чётности, периодичности;

нахождение, если это возможно, пересечений графика функции с осями координат и областей её знакопостоянства (граничными точками интервалов знакопостоянства могут быть только концы интервалов области определения, точки разрыва, нули функции);

область непрерывности функции, её разрывы и их характер;

пределы при стремлении к границам области определения (при этом будут получены уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот, если они есть);

наличие наклонных асимптот.

III. .  для , выпуклость графика направлена вверх, точек перегиба нет.

 Окончательный вариант графика:

4. .

I. ; общего вида; периодична, период Т=2 , поэтому достаточно построить функцию на одном периоде, например, на . Находим значения функции на концах этого отрезка: . При  ; найдём нули функции:

На отрезке  расположены два нуля функции:  и .  на интервалах  и ,  на интервале . В силу периодичности функции нет необходимости искать пределы функции на бесконечности и асимптоты.

II. . Ищем критические точки первого рода:  при  и , на отрезке  находятся три таких точки: ,  и . Характер критических точек определяем с помощью второй производной:

Распределение знаков второй производной очевидно: + - + -. Окончательный график функции:

6. .

I. ; общего вида; непериодична;  при ; пределы на границах области определения:, , ,

;  - точка разрыва второго рода; прямая   - вертикальная асимптота. Ищем наклонные асимптоты: ,

Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функций. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции. Приближенное решение алгебраических уравнений. Отделение корней. Методы хорд, касательных, комбинированный.
Интегралы и их приложения http://intod.ru/ Нахождение пределов примеры решения задач