Решение задач на вычисление пределов

Дифференцируемость функций решение задач курсовой работы

Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков. Формула Лейбница. Пусть функция   имеет производную y'(x) в каждой точке интервала (а,b). Функция y'(x) тоже может иметь производную в некоторых точках этого интервала. Производная функции y'(x) называется второй производной (или производной второго порядка) функции и обозначается . Функция y''(x) тоже может иметь производную, которая  называется третьей производной (или производной третьего порядка) функции и обозначается . Вообще n-ой производной (или производной n-ого порядка) функции называется производная от производной n-1-го порядка (обозначения: ).

Производные высших порядков последовательно вычисляются по уже известным формулам и правилам. Пусть, например, . Тогда , ,  и т.д. В некоторых случаях можно получить общее выражение для n-ой производной функции: пусть . Тогда , , , и вообще . Аналогичную формулу можно получить для косинуса. Другой пример: . Если представить эту функцию в виде , то ,, и вообще .

 Для высших производных произведения функций справедлива формула Лейбница:

. Эта формула внешне похожа на формулу бинома Ньютона и, также как формула бинома Ньютона, может быть доказана методом математической индукции. Для низших производных:

; ; .

6.11.2. Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от её n-1-го дифференциала. При вычислении высших дифференциалов необходимо учитывать, что дифференциал независимой переменной - произвольная и независимая от х величина, которая при дифференцировании рассматривается как постоянная. Поэтому ; ; …., .

6.11.3. Неинвариантность формы старших дифференциалов относительно замены переменной. В разделе 6.8.2. Инвариантность формы первого дифференциала мы доказали, что независимо от того, является ли х независимой переменной, или сама эта переменная х является функцией другой переменной t, формула для нахождения дифференциала первого порядка одна и та же: dy = y'dx. Покажем, что уже второй дифференциал этим свойством не обладает. Если х - независимая переменная, то d 2y = y"dx2. Если x = j(t), то d 2y = d(dу) = d(y'хdx) =

= d(y'х)dx + y'хd(dx). Для первого слагаемого вследствие инвариантности формы первого дифференциала d(y'х) = y"ххdx, для второго d(dx) = d 2x, поэтому окончательно d 2y = y"ххdx2+ y'хd 2x, что отличается от случая независимой переменной. Причина этого понятна: если х независимая переменная, то при нахождении второго дифференциала dx рассматривается как независимая от x константа; в случае x = j(t) дифференциал dx определяется дифференциалом dt.

6.11.4. Старшие производные функции, заданной параметрически. В разделе 6.10.1. Производные функций, заданных параметрически, для первой производной функции

  была получена формула . Если применить эту формулу к функции

  то получим: ; аналогично, применяя ту же формулу ко второй производной , получим выражение для третьей производной, и т.д. Так, для функции  мы получили . Найдем вторую производную: .

  6.11.5. Старшие производные функции, заданной неявно, находятся последовательно, в соответствии с определением старших производных. Так, для неявно заданной зависимости у от х  мы получили . Найдём вторую производную: . Дальше можно найти третью и т.д. производные.

Геометрические приложения: производная по направлению, градиент

Пусть мы снова рассматриваем график функции  и сечения этой поверхности плоскостями, проходящими через точку  плоскости  и параллельными оси . В сечениях получаются кривые, проходящие через точку . Проекция такой кривой на плоскость  есть прямая линия, проходящая через точку . Будем обозначать направляющий вектор этой прямой через , а точки прямой – буквами . Введем понятие величины отрезка :

 длине отрезка  со знаком «+», если  и  имеют одинаковые направления;

 длине отрезка  со знаком «-», если  и  имеют противоположные направления.

Предположим теперь, что мы рассматриваем некоторую плоскость, на ней фиксируем точку  и направление . Пусть для этой точки плоскости определена величина  - функция от точки .

Важно отметить, что пока мы не вводим никакой системы координат (точки на плоскости, направления и функции от точек можно определить без системы координат. Например, температуру воздуха в данной точке обычно измеряют термометром, при этом не особенно задумываясь о системе координат в пространстве. Направление тоже часто указывают без всяких координат (например – пальцем (что не служит признаком хорошего воспитания)) и т.д.)

Рассмотрим теперь точки , лежащие на прямой, проходящей через  в указанном направлении  и соответствующую величину ; Если существует предел этой величины при стремлении  к  вдоль прямой, то он называется производной  в точке  по направлению  и обозначается . Как мы видим, в определении производной по направлению координаты не участвовали. Однако для получения простой формулы для вычисления этой производной удобно ввести систему координат. Итак, пусть  имеет координаты ,  - координаты ,  имеет координаты . Тогда, вводя параметризацию , , для прямой, соединяющей  с , , получаем:  (т.к. мы предположили, что  - дифференцируема в )   . При   и . Поэтому   (1). Аналогично, в случае 3-х переменных   (2).

Основные теоремы дифференциального исчисления.

 В этом и следующем разделах будет исследован вопрос: какую информацию о поведении функции f(x) можно получить, если известны производные этой функции?

7.1. Теорема Ферма.

Теорема Ролля.

 Теор.7.2. Пусть функция f (х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b); 3. принимает на концах отрезка равные значения: f(a) = f(b).

  Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с, в которой производная функции равна нулю: f '(с) = 0.

 Док-во. f (х) непрерывна на [a,b], поэтому, по Теор.5.6.4 о достижении минимального и максимального значений, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Возможны случаи: 1. m = M. Это означает, что функция постоянна на [a,b]: f (х) = m = M. Тогда в каждой точке сÎ[a,b]

Теорема Коши.

 Теор.7.4. Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке [a,b]; 2. имеют производные f '(x) и g'(х) на интервале (a,b); 3. g'(х) ¹ 0 на интервале (a,b). Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

 Док-во. Отметим предварительно, что g(b) ¹ g(a) ( иначе по теореме Ролля нашлась бы точка сÎ(a,b), в которой g '(с) = 0, что противоречит условию теоремы), так что дробь в правой части формулы Коши имеет смысл. Рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля (проверить!), поэтому $ сÎ(a,b), в которой F '(с) = 0. , поэтому в точке с , т.е. , что и требовалось доказать.

 Легко убедиться, что теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при .

Сравнение скорости роста логарифмической, степенной и показательной функций при .

 Ниже приводятся примеры применения правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей. Подчеркнём, что в теоремах Лопиталя предполагается существование предела отношения производных, поэтому бессмысленно пытаться применить это правило к раскрытию, например, следующей неопределённости:

6.3. Неопределённость как и в разделе 4.5.3.2. легко свести к неопределённости  или : пусть f(x)®¥, g(x)®0 при х®а. Тогда представление даст неопределённость , представление даст неопределённость . Пример:

Формула Тейлора.

7.7.1. Формула Тейлора для многочленов. Рассмотрим следующую простую задачу. Дан многочлен по степеням х: . Требуется представить функцию Р3(x) в виде многочлена по степеням (x+2). Решение: представим х в виде (х+2)-2. Тогда

Решим эту задачу по другому: попытаемся выразить коэффициенты разложения многочлена по степеням (x+2) через производные функции Р3(x).

Форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора.

Лемма 7.8. Пусть для функции Rn(x) существуют все производные вплоть до n-го порядка и выполняются условия . Тогда при  эта функция является бесконечно малой выше n-го порядка по сравнению с х- х0.

Представление по формуле Маклорена

элементарных функций.

. В этом случае , поэтому

, 0<q<1.

2. . В этом случае все производные чётного порядка равны при х = 0, производные нечётного порядка:  при х = 0, поэтому

Применение формулы Тейлора для нахождения пределов и приближённых вычислений.

Теоремы Лагранжа, Ролля, Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора. Правило Лопиталя - Бернулли. Признаки постоянства возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции. Достаточные условия существования экстремума. Направления выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции.
США применила атомные бомбы http://ingraf.ru/ Производные и дифференциалы высших порядков