Решение задач на вычисление пределов

Пределы решение задач курсовой работы

Теорема о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Док-во. Пусть М*=. Требуется доказать, что , в котором f(х1)=М*. От противного: предположим, что для  f(х)<М*. Рассмотрим функцию . Так как, по предположению, знаменатель не обращается в нуль, эта функция непрерывна, следовательно, по Теор.5.6.3 об ограниченности непрерывной функции на отрезке ограничена: Û, т.е. число , меньшее М*, оказывается верхней границей множества , что противоречит определению верхней грани. Аналогично доказывается, что , в котором f(х2)= М*=.

Необходимость непрерывности и замкнутости множества демонстрируют те же примеры, что и для предыдущей теоремы.

Следствие всех предыдущих теорем: множество значений непрерывной на отрезке [a,b] функции заполняет весь отрезок [М*, М*]. В дальнейшем величину   будем обозначать просто М, величину  будем обозначать символом m.

Теор.5.6.5 о непрерывности обратной функции. Пусть функция у= f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [m,М] существует обратная функция х = g(у), также монотонно возрастающая (убывающая) на [m,М] и непрерывная.

Док-во. Как доказано выше, множество значений непрерывной функции заполняет весь отрезок [m,М], т.е. для "уÎ[m,М] $! хÎ[a,b], такой что у= f(x). Таким образом, функция х = g(у) определена в каждой точке отрезка [m,М]. Эта функция имеет тоже направление монотонности, что и исходная у= f(x): если, например, f(x) возрастает, то из Þ. Тогда, по смыслу функции х = g(у), из Þ. Эта функция непрерывна по следствию из Теор.5.5.1.

6. Дифференцируемость функций.

6.1. Определение производной функции.

6.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной.

 6.1.1.1. Вычисление скорости неравномерно движущегося тела. Пусть материальная точка неравномерно движется вдоль оси Ох. Известна зависимость пути s(t), пройденного к моменту времени t от времени, требуется найти значение скорости точки в момент t0. Если мы возьмём любое t1¹ t0 и найдём отношение  , то будет получено среднее значение  скорости на отрезке [t0, t1]. Чтобы получить мгновенное значение скорости в момент t0, мы должны устремить t1 к t0, т.е. найти предел , где Dt= t1- t0, Ds= s(t1)- s(t0).

 6.1.1.2. Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции.

 Опр. 6.1.1.2. Касательной к графику функции y=f(x) в точке M0(x0,y0=f(x0)) называется предельное положение секущей M0M1 при M1® M0.

Угловой коэффициент секущей равен . Чтобы получить угловой коэффициент касательной, в этом выражении надо перейти к пределу при M1® M0, или, что тоже самое, при х1® х0. Следовательно, , где . Величины Dх и Dу называются, соответственно, приращением аргумента и функции. Таким образом, при решении этих совершенно разных задач, как и множества других задач науки и техники, требуется находить предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Это приводит к определению основного понятия дифференциального исчисления - понятия производной.

Теорема. Если  дифференцируема в точке , то для всех  существуют .

Таким образом, существование частных производных – необходимое условие дифференцируемости. При этом ,  при .

Другое необходимое условие дифференцируемости - непрерывность функции, как показывает следующая теорема.

Теорема. Если  дифференцируема в точке , то .

Доказательство. Достаточно доказать, что при   (т.к. ). Но это сразу следует из равенства (1), так как .

Однако, в отличие от случая , из существования частных производных  не следует даже непрерывность функции  в точке  и тем более не следует дифференцируемость  в точке  согласно теореме.

Пример. . Тогда , так как  (). Аналогично, . Однако  даже не непрерывна в точке .

 Опр.6.1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.

Производная обратной функции.

Вывод формул производных функций  и .

Теор.6.1. Пусть для f(x): 1. выполняются условия Теор.5.6.5 об обратной функции ( непрерывность и строгая монотонность на отрезке [a,b]). 2. в точке х0 существует неравная нулю производная f'(х0). Тогда обратная функция х = g(у) в точке у0= f(х0) также имеет производную, равную .

Основные правила дифференцирования.

  Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х+Dx нам удобно будет представлять в виде у(х+Dx)= у(х)+ Dу= у(х)+ у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0, следующим из определения для приращения функции: Dу = у(х+Dx)- у(x).

Примеры вычисления производной.

  Вывод формул производных функций, в которых применяются только арифметические действия, обычно не представляет трудностей:

Односторонние и бесконечные производные.

 В этом разделе будут рассмотрены особые случаи, которые могут встретиться при нахождении производных.

 6.7.1. Односторонние производные. Пусть х - правый или левый конец [a,b] отрезка, на котором определена функция. Тогда при вычислении предела отношения  в точке а мы можем рассматривать только случай , в точке b - только случай , т.е. искать односторонние пределы. Соответственно, полученные производные называются односторонними производными справа или слева. Графики функции будут иметь в этих случаях односторонние касательные.

Правила для вычисления дифференциала. Примеры вычисления дифференциала. Правила для вычисления дифференциала - прямое следствие правил дифференцирования (раздел 6.5):

Производные функций, заданных параметрически и неявно.

 6.10.1. Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: . Здесь мы воспользовались результатами разделов 6.5.5. Производная сложной функции и 6.3. Производная обратной функции. То же выражение можно получить из 6.8.2. Инвариантности формы первого дифференциала: .

Математический анализ Теория пределов Переменная величина. Функциональная зависимость. Способы задания функций. Классификация функций. Числовая последовательность. Предел последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число е как предел последовательности. Теорема о представлении последовательности, имеющей предел. Основные свойства пределов.
Инженерная графика Машиностроение http://fistoe.ru/ Производные и дифференциалы высших порядков