Решение задач на вычисление пределов

Последовательность решение задач курсовой работы

Решение задач на вычисление пределов.

Непосредственное вычисление пределов.

1. В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f(x) - элементарная функция, определённая в точке а, то , например ;

2. , если f(х)®0 при х®а;

3. , если f(х)®¥ при х®а;

4. , если g(х)®0, f(х)® ¥ при х®а, например  и т.д.

 Найдём ряд пределов, которые понадобятся впоследствии:

Докажем, что . При х ®+¥ и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому пределы такого типа называются неопределённостями . А).При  справедливо неравенство (оно справедливо при n=2, далее, по индукции: пусть оно верно при произвольном n, тогда n +1< n + n = 2n <2, т.е. оно верно и при n +1). Следствие: , т.е. последовательность   ограничена. Б). Рассмотрим последовательность .   

(как предел произведения ограниченной и бесконечно малой последовательностей). В). Пусть х - произвольное вещественное число, x>0. Тогда , где Е(х) - целая часть числа х. Обозначим Е(х)=n. . Устремим х ®+¥, тогда и n ®¥. Предел постоянной 0 равен этой постоянной, предел правой части . По теореме 4.4.6 о пределе промежуточной функции , что и требовалось доказать. Легко видеть, что это доказательство с небольшими изменениями воспроизводится, если заменить число 4 любым числом а>1, поэтому будем считать доказанным, что   при а>1.

 при а>1 легко сводится к предыдущему. Пусть , тогда , у ®+¥ при х ®+¥, и .

7. Как следствие  при а>1, b>1.

8.   (неопределённость ) также сводится к первому из рассмотренных пределов. Пусть у=1/х. Тогда х=1/у, у ®+¥ при х ®+0, ln x=ln(1/y)=-ln y, поэтому .

Пусть  представляет собой фигуру, ограниченную снизу осью , сверху – графиком , где  – непрерывная функция на , с боков – вертикальными прямыми  и . Тогда  имеет площадь, и .

Доказательство. Взяв произвольное разбиение отрезка , рассмотрим нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, соответствующие этому разбиению.

Они представляют собой, соответственно, площади содержащегося в  и содержащего  многоугольников.

Т.к.  непрерывная функция, она интегрируема на  и поэтому  и теорема доказана.

Следствие. Площадь криволинейной трапеции

в предположении непрерывности  и  вычисляется по формуле .

1. В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f(x) - элементарная функция,

Выделение главной части функции.

 Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых.

Раскрытие неопределённостей.

  Более сложные случаи при решении задач на пределы - если подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым как  . Нахождение предела в этом случае называется раскрытием неопределённости. Рассмотрим элементарные приёмы раскрытия неопределённостей.

4.5.3.5. Показательно-степенные неопределённости  сводятся к неопределённости  следующим образом:  (убедитесь, что во всех трёх случаях в показателе экспоненты получится неопределённость ). Однако неопределённости  ("типа е") часто сводят непосредственно ко второму замечательному пределу: пример 1.

4.5.3.6. Как уже говорилось, выделение главной части функции в совокупности с теор.4.4.9.2 о замене БМ и ББ на эквивалентные - наиболее мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Пример: выделив главные части числителя и знаменателя, найти

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

Непрерывность суперпозиции функций.

Теор.5.2.1 о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)±.g(x), f(x)g(x),  (частное - в случае, когда g(х0)¹0).

Непрерывность элементарных функций.

 Цель этого раздела - доказать факт, которым мы уже пользовались: любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

5.3.1. Непрерывность рациональных функций: 1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

5.4.1. Определение односторонней непрерывности.

В определении непрерывности функции в точке х0 требуется существование   и равенство . С применением односторонних пределов определяются понятия непрерывности функции в точке слева и справа:

Непрерывность и разрывы монотонной функции.

 Теор.5.5.1. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

  Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х0Î[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х0). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Теор.5.6.4 о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Док-во. Пусть М*=. Требуется доказать, что , в котором f(х1)=М*. От противного: предположим, что для  f(х)<М*. Рассмотрим функцию . Так как, по предположению, знаменатель не обращается в нуль, эта функция непрерывна, следовательно, по Теор.5.6.3 об ограниченности непрерывной функции на отрезке ограничена: Û, т.е. число , меньшее М*, оказывается верхней границей множества , что противоречит определению верхней грани. Аналогично доказывается, что , в котором f(х2)= М*=.

Комплексные числа. Многочлены Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции с комплексными числами. Формула Эйлера. Многочлены в комплексной области. Теорема Безу. Разложение многочлена. Условие тождественности двух многочленов
Применение тория Химически уран Плутоний http://ftoe.ru/ Производные и дифференциалы высших порядков