Решение задач на вычисление пределов

Множества решение задач курсовой работы

Последовательность и её предел.

4.3.1. Определение последовательности и её предела.

 Опр. 4.3.1. Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а1, а2, а3,…, аn,….

Примеры:

1). 1, 1, 1,…,1,…; аn=1, nÎN;

3). ; nÎN;

2). ; аn=, nÎN;

4).

Обозначать последовательность мы будем либо перечислением её членов, как в приведённых примерах, либо более краткой записью , либо просто . Так как множество  счётно, его члены могут быть пронумерованы, нижний индекс как раз и обозначает номер члена последовательности. В терминах функциональной зависимости последовательность можно определить как функцию натурального аргумента n, поэтому для последовательности имеют смысл введённые выше опр.4.1.3 -4.1.11, описывающие её свойства.

Далее символом N будет обозначаться не множество натуральных чисел, а некоторый элемент этого множества, т.е. просто некоторое натуральное число.

 Опр. 4.3.2. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа e существует такое натуральное число N (зависящее от e), что для членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство | an - a |<e.

Обозначения: ; ;  при .

Если  при , то говорят также, что последовательность   сходится к числу а.

Краткая форма записи определения: .

Неравенство |an - a|<e эквивалентно двустороннему неравенству -e< an - a <e или a-e< an <a+e. Таким образом, смысл неравенства | an - a |<e заключается в том, что для "e>0 мы можем найти такое N, что все точки an с номерами индексов n>N лежат внутри интервала Ue(a) =


(a-e,a+e), т.е. вне этого интервала лежит не более чем конечное число точек последовательности. Докажем, например, что последовательность  при  сходится к двум. Возьмём "e>0. Требуется доказать, что существует такое N=N(e), что при n>N выполняется неравенство |an-a|<e, т.е. . Таким образом, если в качестве N=N(e) мы возьмём N(e)= (где Е(х)-определённая выше функция - целая часть числа х), то при n>N выполняется неравенство , что и требовалось. Расположение нескольких первых членов последовательности на числовой оси приведено на рисунке снизу. Сходимость последовательности к числу 2 выражается в том, что члены последовательности сгущаются около точки х=2.

4.3.2. Свойства сходящейся последовательности.

Сформулируем и докажем ряд свойств сходящейся последовательности (т.е. последовательности, имеющей предел).

4.3.2.1. Если последовательность постоянна (т.е. аn=const=C для "n), то она имеет предел, и этот предел равен числу С.

 Док-во. Неравенство | аn-C |=0<e выполняется для "n,"e, т.е. выполняются условия определения предела.

4.3.2.2. Последовательность может иметь только один предел.

Док-во. От противного: предположим, что последовательность имеет два предела:  и . Предположим для определённости, что b>a. Возьмём в качестве e любое число, меньшее, чем (b-a)/2. Так как , то, по определению предела последовательности, $N1: n> N1 Þa-e<an < a+e<a+(b-a)/2=(a+b)/2. Так как , то $N2: n> N2 Þ(a+b)/2= b-(b-a)/2<b-e<an < b+e. Возьмём N=max{ N1, N2}. Тогда при n> N одновременно должны выполняться неравенства an < (a+b)/2 и an > (a+b)/2, что невозможно.

Теорема.

Доказательство. Т.к.  и  непрерывны на , они ограничены на этом отрезке. Поэтому существует число  такое, что .

Тогда площадь рассматриваемой фигуры есть разность площадей криволинейных трапеций и она есть  , что и требовалось доказать.

Важное замечание. Если рассмотреть квадрируемые фигуры  и квадрируемые фигуры  то выполняется неравенство . При этом, если эти числа равны, то  - тоже квадрируемая фигура и  (1).

Действительно, взяв любое  и фигуры  и  такие, что  (что можно сделать ввиду (1)), выберем многоугольники  и  так, чтобы  мы получим, что  и , а это означает, что  - квадрируемая фигура.

Теорема. (Площадь в полярных координатах).

Пусть фигура представляет собой часть угла: , ограниченную графиком ,  - непрерывная на  функция. Тогда .

  Опр. 4.3.1. Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а1, а2, а3,…, аn,….

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть $. Возьмём e=1. $N: n> N Þa-1<an < a+1. Итак, все члены последовательности, начиная с N+1, ограничены снизу числом a-1, сверху - числом a+1. Вне окрестности U1(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М1=min{a1,a2,a3,…,aN,a-1}, в качестве верхней границы число М2=max{a1,a2,a3,…,aN,a+1}. Тогда М1an М2, т.е. последовательность  действительно ограничена.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

 Док-во. Необходимость. Пусть последовательность сходится, и её предел равен a. Возьмём "e>0. $N: n> N Þ| a-an |<. Возьмём любые n1, n2> N. Тогда и | a-an1 |<, и

| a-an2 |<. Оценим | an1-an2 |: | an1-an2 |=| an1-a+a-an2 |=| (an1-a)-(a n2-a) |  |an1-a | +

+ |a n2-a |<+=e Þ последовательность  фундаментальна.

 Достаточность строго доказывать не будем, приведём идею доказательства. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена (доказывается аналогично свойству 4.3.2.3), следовательно из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу a. Далее показывается, что это число будет пределом всей последовательности .

Число е.

 Здесь мы докажем существование числа, играющего исключительную роль в природе и математике - числа е. Это число определяется как .

 Утв. 1. Последовательность  возрастает с ростом n.

Док-во. По формуле бинома Ньютона

  Эта сумма содержит ровно n+1 член. Если перейти от n к n+1, то количество слагаемых увеличится на 1 и каждое слагаемое возрастётÞ an+1>an.

  Утв. 2. Последовательность  ограничена.

Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и использование их при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Дифракционная решетка Физика лабораторные работы Производные и дифференциалы высших порядков