Решение задач на вычисление пределов

Множества решение задач курсовой работы

Гиперболические функции.

4.2.1. Определение гиперболических функций.

 Опр. 4.2.1. Гиперболическими называются функции

  - синус гиперболический;  - косинус гиперболический;

 - тангенс гиперболический;

 - котангенс гиперболический.

Графики гиперболических функций:


4.2.2. Соотношения между гиперболическими функциями.

 Исходя из определения гиперболических функций можно получить различные соотношения между этими функциями, схожие с соответствующими соотношениями между тригонометрическими функциями, или, в некоторых случаях, отличающиеся знаком перед некоторыми слагаемыми. Так, прямой подстановкой проверяется равенство  (основное гиперболическое тождество, играющее в теории гиперболических функций ту же роль, какую в тригонометрии играет основное тригонометрическое тождество ).

Прямой проверкой или из основного гиперболического тождества можно получить аналог любой тригонометрической формулы, например

 sh 2x = 2 shx chx

и т.д. Получать эти соотношения можно также руководствуясь мнемоническим правилом (оно доказывается в комплексном анализе): вместо cos x пишется ch x, а вместо sin x пишется ish x, где i - мнимая единица ( i= i= -1).

4.2.3. Обратные гиперболические функции.

Обратные гиперболические функции определяются как функции, обратные соответствующим гиперболическим функциям. например:

если y = Ar sh x, то x = sh y, где : x Î R , y Î R.

Любую обратную гиперболическую функцию можно выразить через логарифм натуральный. Так, решая уравнение  относительно y с помощью подстановки z = e x, получим для z квадратное уравнение , при решении которого надо взять положительный корень , и окончательно . Для остальных функций так же можно получить  

Справа и ниже на рисунках приведены графики прямых и обратных гиперболических функций.

Теорема.

Если  продолжает , то ,  (3).

Для любых разбиений  и  имеет место неравенство: (4).

Доказательство. Сначала докажем неравенства (3) в случае, когда  получено присоединением к  одной новой точки. Пусть эта точка, обозначим ее , попала в интервал . Рассмотрим суммы Дарбу, соответствующие старому разбиению и новому разбиению.

Поскольку остальные отрезки старого разбиения остались без изменения, соответствующие им слагаемые сумм Дарбу не изменятся. Поэтому различие старой и новой суммы Дарбу только в том, что:

Для верхней суммы Дарбу слагаемое  заменяется на сумму , где  - точная верхняя грань множества значений  на ,  - на ;

Для нижней суммы Дарбу слагаемое  заменяется суммой , где  - соответствующие точные нижние грани.

Очевидны неравенства:  (точная верхняя грань множества значений  на части отрезка не превосходит точной верхней грани множества значений  на всем отрезке, а точная нижняя грань множества значений  на части отрезка не меньше, чем точная нижняя грань множества значений  на всем отрезке).

Поэтому   , т.к. .

Аналогично,  , т.к. .

Итак, первое утверждение теоремы доказано в случае, когда  получено из  добавлением одной новой точки.

Если же таких новых точек - несколько, то мы можем рассматривать  как результат последовательного присоединения по одной точке. При этом, по доказанному выше, при каждом таком присоединении точки верхняя сумма Дарбу не увеличивается. Значит,  и в общем случае. Аналогичное рассуждение справедливо и для нижних сумм.

Поэтому первое утверждение теоремы полностью доказано.

Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и использование их при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Производные и дифференциалы высших порядков