Решение задач на вычисление пределов

Множества решение задач курсовой работы

Определения.

3.4.1. Если существует число МÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х<М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М). Число М называется верхней границей множества Х.

3.4.2. Если существует число mÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х>m, то множество Х называется ограниченным снизу (числом m). Число m называется нижней границей множества Х.

3.4.3. Если существует число МÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство |х|<М, то множество Х называется ограниченным.

Теорема 3.4.1. Множество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено сверху и снизу.

Если множество Х ограничено сверху, то множество его верхних границ бесконечно (если число М - верхняя граница, то верхними границами будут числа М+1, М+2 и т.д.). Обозначим У множество верхних границ множества Х. Множество У ограничено снизу (любым элементом множества Х).

Возможны два случая: либо множество Х имеет максимальный элемент (например, если

Х – отрезок [0, 1], то максимальный элемент равен 1), в этом случае множество верхних границ не имеет минимального элемента; либо множество Х не имеет максимального элемента (например, если Х = (0, 1)), в этом случае множество верхних границ имеет минимальный элемент.

Определение 3.4.4. Точной верхней границей, или верхней гранью, множества Х, ограниченного сверху, называется максимальный элемент этого множества, если он существует, и минимальный элемент множества верхних границ, если множество Х не имеет максимального элемента.

Для обозначения применяются: символы sup X или sup{x}.

Свойства верхней грани:

Пусть М*= sup X - верхняя грань множества Х. Тогда

3.4.2. Для "хÎХ выполняется неравенство х £М*.

3.4.3. Любое число, меньшее М*, не будет верхней границей множества Х, т.е. для "e>0 $xÎX такой, что х> М*-e.

Аналогичным образом, если множество Х ограничено снизу, то множество его нижних границ бесконечно. Обозначим Z множество нижних границ множества Х. Множество Z ограничено сверху (любым элементом множества Х).

Определение 3.4.5. Точной нижней границей, или нижней гранью, множества Х, ограниченного снизу, называется минимальный элемент этого множества, если он существует, и максимальный элемент множества нижних границ, если множество Х не имеет минимального элемента.

Для обозначения применяются: символы inf X или inf{x}.

Свойства нижней грани:

Пусть М*= inf X - нижняя грань множества Х. Тогда

3.4.2. Для "хÎХ выполняется неравенство х ³ М*.

3.4.3. Любое число, большее М*, не будет нижней границей множества Х, т.е. для "e>0 $xÎX такой, что х< М*+e.

 Определения.

 3.3.1. Несобственной точкой -¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

 Для "уÎR выполняется -¥<у.

3.3.2. Несобственной точкой +¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

 Для "уÎR выполняется у<+¥.

3.3.3. Пусть К>0. Несобственной точкой ¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

3.4. Границы числовых множеств.

Пусть Х={x|xÎR} - некоторое подмножество множества действительных чисел.

Необходимое условие существования интеграла

 

Теорема. Если функция  интегрируема на отрезке , то она ограничена на .

Доказательство. Возьмем в определении интеграла  и рассмотрим соответствующее ему . Пусть T – любое разбиение, удовлетворяющее условию . Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех  функция  ограничена на отрезке , т.е. . Действительно, тогда для  имеем при , т.к. x входит в некоторый отрезок  и, значит .

Выберем любое  и представим интегральную сумму  в виде (1).

Зафиксируем произвольным образом числа  выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквой J. Таким образом, при любом   (2).

По условию, функция интегрируема, значит , т.е. , или . Откуда, учитывая (2), , ,  (3).

Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от . Поэтому неравенства (3) означают, что . Теорема доказана.

Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и использование их при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Производные и дифференциалы высших порядков