Решение задач на вычисление пределов

Множества решение задач курсовой работы

Некоторые множества на числовой оси.

 Определения.

 3.2.1. Для любой пары элементов aÎR, bÎR такой, что a<b, множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию а<х<b, называется открытым промежутком, или интервалом с началом а и концом b и обозначается (a,b) (или ] a ,b[).

 3.2.2. Множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию а£х£b, называется замкнутым промежутком, или отрезком и обозначается [a,b]

 3.2.3. Определения полуоткрытых промежутков: (a,b]={x| а<х£b}; [a,b)={x| а£х<b}.

 3.2.4. Пусть eÎR, e>0. e-окрестностью числа (точки) х0 называется множество.

.

 3.2.5. Проколотой e-окрестностью числа (точки) х0 называется множество .

 Пусть Х – произвольное множество действительных чисел.

3.2.6. Точка х0 называется предельной точкой множества Х, если в любой e-окрестности точки х0 имеются элементы множества Х, отличные от х0.

Предельная точка множества может принадлежать этому множеству, а может не принадлежать ему. Так, точка х0 = 1 является предельной и для отрезка [0, 1], и для интервала (0, 1).

3.3. Несобственные точки числовой прямой.

 Дополним множество вещественных чисел тремя новыми объектами (-¥, +¥, ¥), которые определим через систему их окрестностей.

 Определения.

 3.3.1. Несобственной точкой -¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

 Для "уÎR выполняется -¥<у.

3.3.2. Несобственной точкой +¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

 Для "уÎR выполняется у<+¥.

3.3.3. Пусть К>0. Несобственной точкой ¥ будем называть объект, К-окрестность которого - множество .

3.4. Границы числовых множеств.

Пусть Х={x|xÎR} - некоторое подмножество множества действительных чисел.

Определение. Величина  называется интегральной суммой, соответствующей разбиению T с выбранными точками .

Определение. Пусть существует число  такое, что для любого  существует ,  такое, что для  и любого выбора точек  выполняется неравенство

.

Тогда функция  называется интегрируемой на , а число I называется ее интегралом по отрезку  и обозначается

.

Примечания.

Это-определение интеграла Римана (Б. Риман (1826-1866)). Существуют другие определения интеграла (интеграл Лебега, интеграл Мак-Шейна, интеграл Курцвейла-Хенстока, интеграл Стилтьеса и др.). Мы будем рассматривать лишь интеграл Римана ввиду относительной простоты его определения, с одной стороны, и его достаточности для приложений, с другой стороны.

Чисто, допуская некоторую вольность языка (в математическом смысле!) говорят, что интеграл – это предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения . «Вольность» состоит в том, что у нас имеется определение предела функции одной переменной, а интегральная сумма зависит не только от , но и от самого разбиения T, и от выбора точек . Поэтому говоря в дальнейшем о пределе интегральных сумм мы имеем в виду утверждение, сформулированное в определении интеграла.

Впрочем, этой вольности можно избежать, если рассматривать понятие предела по базе (с этим понятием можно ознакомиться в более развернутых курсах математического анализа).

Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и использование их при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Производные и дифференциалы высших порядков