Решение задач на вычисление пределов

Математика решение задач курсовой работы

Действительные числа.

3.1. Аксиомы действительных чисел.

 Множество R={x,y,z,…} действительных чисел - множество мощности континуум, на котором определены две операции (сложение и умножение) и отношение упорядоченности (), удовлетворяющие аксиомам

 I.1. x+y=y+x;

 I.2. (x+y)+z=x+(y+z);

I.3. Существует такой элемент 0ÎR, что 0+х=х для "хÎR;

I.4. Для каждого элемента хÎR существует такой элемент - х, что х+(- х)=0;

II.1. xy=yx;

II.2. (xy)z=x(yz);

II.3. Существует такой элемент 1ÎR, что 1х=х для "хÎR;

II.4. Для каждого элемента х¹0, х ÎR существует такой элемент х-1ÎR, что х х-1=1;

III.1. x(y+z)=xy+xz;

IV.1. Отношение {()L( y £ x)} эквивалентно отношению х=у;

IV.2. Для любых двух элементов хÎR, уÎR или х£у, или у£х;

IV.3. Из  и y£z следует х£z;

IV.4. Из х£у следует х+ z £у+ z для любых х,у, z ÎR;

IV.5. Из 0£ х и 0£ у следует 0£ ху.

Отношение  записывается также в форме у³х. Отношение {()L( x¹y)} записывается в форме х<у.

 V. Аксиома непрерывности: для любых элементов хÎR, уÎR таких, что х < у, существует элемент z ÎR, такой что х< z < у.

 VI. Аксиома Архимеда: для любых элементов хÎR, уÎR таких, что 0<х, 0<у, существует такое натуральное число n, что у£ nх;

 VII. Аксиома о вложенных отрезках: если {[an, bn]} - счётная последовательность отрезков, таких что an£ an+1 и bn+1£ bn при "n, то пересечение этой последовательности непусто, т.е. $ хÎR: хÎ[an, bn] для "n.

Определенный интеграл

Интегральные суммы. Определение интеграла

 

Определение. Точки  задают разбиение отрезка . Для краткости будем обозначать разбиение буквой .

Обозначим .

Определение. Наибольшее из чисел  называется диаметром разбиения T и обозначается .

Определение. Если произвольным образом выбрать точки  , то получится разбиение T с отмеченными точками . Будкм обозначать  набор .

Пусть функция  определена на отрезке .

 3.2.1. Для любой пары элементов aÎR, bÎR такой, что a<b, множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию а<х<b, называется открытым промежутком, или интервалом с началом а и концом b и обозначается (a,b) (или ] a ,b[).

  3.2.2. Множество действительных чисел х, удовлетворяющей условию а£х£b, называется замкнутым промежутком, или отрезком и обозначается [a,b]

Определения.

3.4.1. Если существует число МÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х<М, то множество Х называется ограниченным сверху (числом М). Число М называется верхней границей множества Х.

3.4.2. Если существует число mÎR такое, что для "хÎХ выполняется неравенство х>m, то множество Х называется ограниченным снизу (числом m). Число m называется нижней границей множества Х.

Предел функции одной переменной.

4.1. Определение функции. Терминология.

 Пусть Х, Y - некоторые множества.

Опр.4.1.1. Функцией называется любое правило (закон), которое каждому элементу хÎХ ставит в соответствие определённый элемент уÎ Y.

 Обозначение функциональной зависимости: y = f(x) или f : X®Y. Множество Х называется областью определения функции, множество Yf = f(X) = {y| y = f(x), xÎX}ÍY - областью значений функции. (Смысл записи f : X®Y состоит в том, что функция y = f(x) отображает множество Х в множество Y. Если образ множества X при отображении f : X®Y полностью "накрывает" множество Y, т.е. Yf = Y, то отображение f : X®Y называется отображением Х на Y. Так, функция y = x2 отображает отрезок [ 1, 2] в отрезок [ 1,10] и на отрезок[ 1, 4]).

  Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, принято называть функциями общего вида.

 Любую функцию, область определения которой симметрична относительно точки x = 0, можно единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной.

 Опр. 4.1.15. Функция называется периодической, если существует число Т¹0 такое, что для "xÎX: 1. x+ТÎX; 2. f(x+Т) = f(x). Число Т называется периодом функции.

Гиперболические функции.

4.2.1. Определение гиперболических функций.

 Опр. 4.2.1. Гиперболическими называются функции

   - синус гиперболический;   - косинус гиперболический;

  - тангенс гиперболический;

  - котангенс гиперболический.

Графики гиперболических функций:

Производная и ее приложения Производная функции. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования. Свойства некоторых функций (логарифмической, показательной). Формулы дифференцирования. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Свойства дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Аксонометрические проекции Начертательная геометрия Производные и дифференциалы высших порядков