Решение задач на вычисление пределов

Математика решение задач курсовой работы

1. Элементы теории множеств.

1.1. Множества, подмножества, элементы множества.

В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. Этот термин употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить (а) о множестве пчёл в улье, (б) о множестве точек отрезка, (в) о множестве вершин квадрата или (г) о множествах его сторон и (д) диагоналей, (е) о множестве студентов в аудитории и т.д. В приведённых примерах в случаях (а), (в)-(е) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример (б)) пересчитать невозможно, такие множества называются бесконечными. Наконец, множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

  Задаются множества различными способами. Наиболее простая форма задания множества - перечисление его элементов, например А={2, 6, 15} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 2, 6, 15). Другая часто применяемая форма задания - указание свойств элементов множества, например   - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию .

 Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы - малыми: а, в, с,… Запись  (читается: а принадлежит А) или  (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Записи , ,  (а не принадлежит А) означает, что а не является элементом множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.

  Опр.1.1.1. Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение -   или ).

Согласно этому определению, каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение  или . Если одновременно  и , т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств =: A=B. (Символы  называются символами включения).

 Общепринятые обозначения множеств:

 N = { 1, 2, 3, …} - множество натуральных чисел;

  Z = {… ,-4, -3 -2,- 1, 0, 1, 2, 3, ….} - множество целых чисел;

 Q =  - множество рациональных чисел.

 R - множество вещественных чисел.

 Рассмотрим простой пример. Пусть А, В, С - подмножества множества N:

А={1, 2, 6, 18}; В={6, 1, 18}; С={2, 18, 6, 1},. В этом случае А = С;  и , .

 Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. В любой имеющей смысл задаче обычно рассматриваются подмножества некоторого "наибольшего" множества U, которое называют универсальным множеством. Так, на рис. 1 изображено универсальное множество U и два его подмножества - множества А и В, . Сами картинки типа рис. 1 называются диаграммами Эйлера-Венна.

Критерий интегрируемости

Теорема. Для того, чтобы функция  была интегрируема на  необходимо и достаточно, чтобы

 (1)

Доказательство.

1. Необходимость. Для числа  выберем  так, чтобы   , что можно сделать ввиду интегрируемости  на . Тогда ,  для любого выбора . Значит, число  - верхняя грань множества значений  при всевозможных выборах .

Значит, , поскольку, по доказанному в §3,  - точная верхняя грань этого множества, а точная верхняя грань является наименьшей из верхних граней и не может превосходить числа . Аналогично, . Поэтому .

Неравенство (1) доказано.

2. Достаточность. Поскольку   (2), множество  значений  при всевозможных разбиениях  отрезка  ограничено сверху (любым числом вида ). Аналогично, множество  ограничено снизу. Поэтому существуют , . Из неравенства (2) сразу следует, что .

Покажем сначала, что из (1) следует, что . Действительно,  и . Значит, ввиду произвольности , . Обозначим .

Далее, . Но при любом выборе  . Поэтому , или  согласно (1). Поэтому  - интегрируема на . Теорема доказана.

 В этом параграфе будут рассмотрены три простые операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и разность (дополнение) множеств.

 Опр.1.2.1. Пусть даны множества А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

Мощность множества.

 Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов. Для бесконечных множеств такого простого правила сравнения количеств элементов в них нет; чтобы получить возможность описывать количество элементов в бесконечных множествах, введём следующие определения.

Множество Q рациональных чисел счётно.

Множество рациональных чисел (чисел вида p/q, где p,q - целые числа, q¹0) можно представить как объединение счётного числа следующих счётных множеств:

множества Q1 всех целых чисел n=0,±1,±2,±3,….;

множество Q2 всех дробей вида n/2, множество Q3 всех дробей вида n/3,…………….,

множество Qк всех дробей вида n/к, n=0,±1,±2,±3,…..; следовательно, оно счётно.

 Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

 4. Если А={an|nÎZ} и В={bn|nÎZ} - счётные множества, то множество всех пар {(an,bк)|n,кÎZ} - счётно.

Множества высших мощностей.

Опр. 1.3.6. Если множества А и В неравномощны, но одно из них, например, А, равномощно с некоторым подмножеством множества В, то множество В называется множеством большей мощности, чем А.

Минимальной мощностью обладает пустое множество. Счётное множество имеет большую мощность, чем любое конечное, континуум - большую мощность, чем счётное. Существуют ли множества большей мощности? Следующая теорема показывает, что для любого множества можно построить более мощное множество.

Кванторы.

 В этом разделе мы расширим понятие термина "высказывание", чтобы ввести в рассмотрение утверждения вида х>7. Строго говоря, это утверждение не является высказыванием в смысле опр.2.1.1, так как мы не можем сказать, истинно оно или ложно (оно истинно, если, например, xÎ[12,15] и ложно, если xÎ[ 2, 5]). Тем не менее, утверждения, содержащие переменные x, y, z,… с областями возможных значений X, Y, Z,…, обладающие тем свойством, что для каждого набора переменных xÎ X, yÎ Y, zÎ Z,…истинность утверждения может быть установлена, в дальнейшем тоже будем называть высказываниями. Зависимость высказываний А, В, … от переменной x будем обозначать как А(х), В(х),… xÎ X. Подмножество Х(А)ÍХ множества Х такое, что для любого хÎХ(А) высказывание А(х) истинно, будем называть областью истинности высказывания А (так, для высказывания х>-2, X=[-5, 5] будет Х(А) = (-2, 5]).

Математические теоремы, их виды и логическая структура.

2.3.1. Теоремы прямая, обратная, противоположная.

  Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р1, Р2, Р3, …}- множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова:

Достаточность и необходимость; существование и единственность.

 Переведём формулировку теоремы "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) на термины "необходимо", "достаточно": если для элемента х множества Х истинно утверждение А(х), то истинно и утверждение В(х). Таким образом, свойство В(х) необходимо для выполнения А(х) (если ложно В(х), то не может быть истинно А(х); необходимо целое число делится на 5 без остатка, если его десятичная запись оканчивается нулём). С другой стороны, условие А(х) достаточно для того, чтобы имело место В(х) (равенство последней цифры десятичной записи целого числа нулю достаточно, чтобы это число делилось на 5 без остатка).

Производная и ее приложения Производная функции. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования. Свойства некоторых функций (логарифмической, показательной). Формулы дифференцирования. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Свойства дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Кинематическая энергия тела Математический маятник Производные и дифференциалы высших порядков