Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления.

Производная степенно-показательной функции

Пусть функция f(x) положительна и дифференцируема в точке x. Вычислим производную функции y = ln f(x). Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

y' = f'(x)/f(x).

Это выражение называется логарифмической производной f(x). Пусть задана функция y = f(x)g(x), f(x)>0, причем f(x), g(x) - дифференцируемые функции в данной точке. Вычислим производную этой функции.

При этих ограничениях функция z(x) = ln y(x) = g(x)ln f(x) будет дифференцируемой в силу теоремы о дифференцируемости сложной функции. Используя правило дифференцируемости произведения, найдем

(ln y(x))' = g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x).
Или
y'(x)/y(x) = g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x).
Отсюда

y'(x) = (f(x))g(x)(g'(x)ln f(x)+(g(x)f'(x))/f(x)).

Пример 8. Найти y', если y = (sin x)x. Найдем

ln y = xln sin x,
тогда дифференцируя обе части равенства, получим
y'/y = ln sin x +(xcos x)/sin x.
Тогда
y' = (sin x)x(ln sin x +(xcos x)/sin x).

 

Дифференциальное исчисление, раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Дифференциальное исчисление в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница
Дифференцирование сложной и обратной функций