Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления.

Таблица производных простейших элементарных функций

Легко получить следующую таблицу производных основных элементарных функций, используя определение производной. Для более подробного изучения данного материала рекомендуем использовать, например, "Математический анализ" ч.1 В.А. Ильина, В.А. Садовничего, Бл.Х. Сендова. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить в этой точке y¢¢xx:

  1. (ua(x))' = a ua-1(x)u'(x), в частности,
    (1/u(x))' = -u'(x)/u2(x), ()' = u'(x)/2;
  2. (logau(x))' = (u'(x)logae)/u(x) при 0<a1, u(x)>0, в частности, (ln u(x))' = u'(x)/u(x);
  3. (au(x))' = au(x)ln a u'(x) при 0<a1, в частности, (eu(x))' = u'(x)eu(x);
  4. (sin u(x))' = cos u(x)u'(x);
  5. (cos u(x))' = -sin u(x)u'(x);
  6. (tg u(x))' = u'(x)/cos2u(x) x№ p/2+p n, n=0,+-1,...;
  7. (ctg u(x))' = -u'(x)/sin2u(x) x№ p n, n=0,+-1,...;
  8. (arcsin u(x))' = u'(x)/, -1<u(x)<1;
  9. (arccos u(x))' = -u'(x)/, -1<u(x)<1;
  10. (arctg u(x))' = u'(x)/(1+u2(x));
  11. (arcctg u(x))' = -u'(x)/(1+u2(x)).
Введем гиперболические функции:
sh x = (1/2)(ex-e-x)- гиперболический синус;
ch x = (1/2)(ex+ex)- гиперболический косинус;
th x = sh x/ch x -гиперболический тангенс;
cth x = ch x/sh x - гиперболический котангенс.
Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных.
  1. (sh x)' = ch x;
  2. (ch x)' = sh x;
  3. (th x)' = 1/ch2 x;
  4. (cth x)' = -1/sh2 x.

Пример 7. Найти y', если

  1. y(x) = x3arcsin x.
  2. y(x) = ln sin (x2+1).

    y' = (2xcos(x2+1))/sin(x2+1) = 2x ctg(x2+1)

Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

 

Дифференциальное исчисление, раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Дифференциальное исчисление в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница
Дифференцирование сложной и обратной функций