Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления.

Дифференцирование сложной и обратной функций

Теорема (производная обратной функции). Пусть функция
y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x) 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f-1(y) и для ее производной справедлива формула

(f-1(y))' = 1/f'(x).

Другой подход к решению задачи  использование логарифмической производной. Приведём и такое решение: ln y = ln2cosx· ln(sin x3);

Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x).

Пусть D y 0 приращение для y, а D x - соответствующее приращение обратной функции x = f-1(y). Тогда справедливо равенство

D x/D y = 1/(D y/D x).
Переходя к пределу в последнем равенстве при D y® 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции D x® 0, получим
limD y® 0D x/D y = 1/ (limD x® 0D y/D x).
То есть, x'(y) = 1/y'(x).

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M –точка графика функции f(x), (рис.22), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона a касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона b той же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона a+ b=p/2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tgb = 1/tg a.


Пример 6. Найти x'y, если y = 2x3+3x5+x Имеем y' = 6x2+15x4+1, тогда x'y = 1/y'x = 1/(6x2+15x4+1).

 

Дифференциальное исчисление, раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Дифференциальное исчисление в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница
Дифференцирование сложной и обратной функций