Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Пространство действительных чисел

Конструктивистский анализ – это математический анализ, сделанный в соответствии с принципами конструктивистской математики

Непрерывные функции

Непрерывность функции в точке

Пусть f:E® R, a -точка области определения.

Определение 21 (непрерывность функции в точке). Функция
f(x) называется непрерывной в точке a, если

" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))М U(f(a))).

Дадим определение непрерывной функции в точке на "языке ed " (ср. с определением предела по Коши.)

Определение 22(непрерывность функции по Коши). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " e > 0 $ d(e)>0: " x удовлетворяющих условию |x-a|< d, выполнено неравенство
|f(x)-f(a)|< e

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a)М U(f(a)), " U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

f:E® R непрерывна в aО E, где a- предельная точка EЫ
Ы
limx® af(x) = f(a)
Последнее равенство можно переписать в следующей форме
limx® af(x) = f(limx® ax),
которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

Определение 23 (непрерывность "на языке приращений").
Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

limD x® 0D y = 0,
где D y = f(a+D x)-f(a).

Пример 20. Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно,

|sin x-sin a| = 2|cos((x+a)/2)sin ((x-a)/2)|Ј 2|sin((x-a)/2)|Ј
Ј
|x-a|/2 = |x-a|<e,
как только |x-a|<d =e.

Пример 21. Любая последовательность f:N® R есть функция, непрерывная на множестве N, так как каждая точка множества N является его изолированной точкой.

 

«Неньютоновкие» вычисления – математический анализ, существующий в качестве противопоставления вычислительной системе Ньютона, Лейбница
Дифференцирование сложной и обратной функций