Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Пространство действительных чисел

Конструктивистский анализ – это математический анализ, сделанный в соответствии с принципами конструктивистской математики

Критерий Коши о существовании предела функции.

Определение (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию

0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,
справедливо неравенство
|f(x1-f(x2)|<e.

Теорема 5 (Критерий Коши). . Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a ( limx ® af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого(левого) пределов в точке a, предела при x® Ґ(±Ґ).

Предел монотонной функции.

Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E ® R

  1. Если для любых x1, x2 О E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).
  2. Если для любых x1, x2 О E при x1<x2 выполняется f(x1)Ј f(x2) (f(x1)і f(x2)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая).

Определение 12 (ограниченная функция). Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если

$ M(m)О R " xО X Ю f(x)Ј M (f(x)і m).

Определение 13 . Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е.

$ M, mО R " xО X Ю mЈ f(x)Ј M .

Определение 14(точные верхняя и нижняя грани). Число M (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие условия

  1. " xО X Ю f(x)Ј M (f(x)і m);
  2. " e >0 $ x0О X: f(x0)>M-e (f(x)<m+e) (см. рис. 16).


Предположим, что числа (или символы ±Ґ) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E® R имела предел при x® s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x® i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

 

«Неньютоновкие» вычисления – математический анализ, существующий в качестве противопоставления вычислительной системе Ньютона, Лейбница
Дифференцирование сложной и обратной функций