Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Предел функции Определения и примеры

Математический анализ как специфическое направление включает в себя большое количество отдельных анализов, которые подвергаются исследованию в рамках математической области. Особняком среди них стоит так называемый неклассический математический анализ

Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.

Определение (определение подпоследовательности). Как мы уже знаем (см. определение последовательности) последовательность это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если вместо множества всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмножество nk, k = 1,2,..., nk<nk+1, то получим подпоследовательность xnk.

Пример 27.

xn = {n}=1,2,3,...,n,... xnk = {1,3,...,2n-1,...}

Определение 35 (определение частичного предела). Предел
любой подпоследовательности, если он существует, называется частичным пределом данной последовательности.

Определение 36. Частичный предел последовательности называется предельной точкой данной последовательности.

Иначе говоря справедливо следующее определение предельной точки последовательности.

Определение 37 (определение предельной точки). Точка

aО R называется предельной точкой последовательности xn, если в любой e – окрестности этой точки содержится бесконечно много элементов последовательности xn.

Замечание. Если последовательность сходится, то по теореме 7, она имеет единственную предельную точку. Если

xn не является сходящейся, то она может иметь несколько предельных точек (и, вообще бесконечно много предельных точек).

Пример 28. Рассмотрим последовательность

xn = (-1)n. Так как x2k = 1, x2k+1 = -1, то данная последовательность имеет два частичных предела, или иначе говоря, две предельные точки. Если последовательность ограничена сверху, то множество всех частичных пределов тоже ограничено сверху. Можно доказать, что это множество обязательно содержит максимальный элемент. Этот максимальный элемент называется верхним пределом последовательности и обозначается limn®Ґxn.

Если последовательность не ограничена сверху, то

limn®Ґxn = +Ґ.

Аналогично определяется limn®Ґxn – нижний предел последовательности. Если последовательность не ограничена снизу, то

limn®Ґxn = -Ґ.

Определение 38. Нижним пределом последовательности называется наименьший частичный предел последовательности.

Верхним пределом последовательности называется наибольший частичный предел последовательности.

Условие существования предела последовательности эквивалентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой последовательности.

Вычисление верхнего и нижнего пределов последовательности сводится к тому, что выделяют сходящиеся подпоследовательности и сравнивают их пределы.

Пример 29. Пусть дана последовательность xn = n(-1)n, nО N. Так как x2k = 2k, x2k+1 = 1/(2k+1), то limn®Ґxn = +Ґ. и limn®Ґxn = 0.

Теорема 13 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

 

Интуиционистский анализ – является производным математическим анализом от анализа, сделанного на основе конструктивистской логики, но с учетом использования метода выбора последовательности
Дифференцирование сложной и обратной функций