Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Предел последовательности

Нестандартный анализ – такой вид математического анализа, который занимается исследованием бесконечно малых величин в соответтвии с новой вычислительной системой, основываясь на принципе переноса числовых значений

Свойства предела последовательности.

Общие свойства.

Определение 29. Последовательность называется финально постоянной, если $ AО R и $ N, что для всех n>N xn = A.

Теорема 7. (свойства предела последовательности)

  1. Финально постоянная последовательность сходится.
  2. Если последовательность сходится, то предел единственен.
  3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

  1. Если xn = A при n>N, то для любой окрестности U(A) имеем xnО U(A) при n>N, то есть lim n®Ґxn = A.
  2. Пусть limn®Ґxn = A1 и limn® Ґxn = A2, A1 A2, тогда выберем e - окрестности точек A1, A2, так чтобы они не пересекались. В качестве e можно взять число e = 1/2|A1-A2|. По определению предела $ N1,N2, что при n>N1 xnО U(A1), а при n>N2 xnО U(A2). Следовательно, при n> max{N1,N2} xnО U(A1)З U(A2), что невозможно, так как U(A1)З U(A2) = Ж.
  3. Пусть limn®Ґxn = A, положим в определении предела e = 1, тогда " n>N |xn-A|<1 значит |xn|<|A|+1. Выберем C>max{|x1|,...,|xN|,
    |A|+1}, тогда получим, что при " nО N |xn|< C.

 

Бесконечность, непрерывность, предел – с такими понятиями работает математический анализ. Неспроста Зенон был философом: возможно, что математический анализ – это философия математики, более-менее окультуренная под массовое понимание.
Дифференцирование сложной и обратной функций