Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Предел последовательности

Нестандартный анализ – такой вид математического анализа, который занимается исследованием бесконечно малых величин в соответтвии с новой вычислительной системой, основываясь на принципе переноса числовых значений

Основные определения и примеры.

Определение (определение последовательности). Функция f:N® X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если f:N® R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: xn = f(n). Обозначают числовую последовательность {xn}. Примеры числовых последовательностей:

Пример 16. 1) 1,2,..., n,...;
2) 1,-1,1,-1,...,(-1)n,...;
3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....

Определение 23.

  1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если $ M (m), такое, что для любого nО N xnЈ M (xnі m).
  2. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть $ c > 0 такое, что |xn| Ј c для любого nО N. Заметим, что в данном определении c=max{|m|,|M|}.

Пример 17.

  1. 1,2,...,n,... — ограничена снизу, но неограничена сверху;
  2. {1/n} – ограничена, так как 0< xnЈ 1 ;
  3. {(-1)n} – ограничена

 

Бесконечность, непрерывность, предел – с такими понятиями работает математический анализ. Неспроста Зенон был философом: возможно, что математический анализ – это философия математики, более-менее окультуренная под массовое понимание.
Дифференцирование сложной и обратной функций