Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Предел последовательности

Нестандартный анализ – такой вид математического анализа, который занимается исследованием бесконечно малых величин в соответтвии с новой вычислительной системой, основываясь на принципе переноса числовых значений

Числовые множества. Ограниченное множество. Принцип верхней грани.

Приведем примеры, иллюстрирующие данные понятия.

Пример 13.

  1. Множество N натуральных чисел ограничено снизу и не ограничено сверху.
  2. Любой конечный отрезок [a,b] или интервал (a,b) ограничен.
  3. Числовая прямая R есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.

Определение 19. Элемент c О X называется максимальным (минимальным), если " x О X, x Ј c (x і c) .

Рассмотрим следующие примеры

Пример 14.

  1. Множество целых чисел
    Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
    не имеет ни максимального элемента, ни минимального.
  2. Множество натуральных чисел
    N = {1,2,3,...}
    имеет минимальный элемент, равный единице, но не имеет максимального.
  3. Отрезок [a,b] имеет как минимум, равный a , так и максимум, равный b.
  4. Интервал (a,b) не имеет ни максимума, ни минимума.

Пусть множество X ограничено сверху. Тогда оно имеет бесконечное множество верхних граней. Действительно, если S – верхняя грань X, то и любое число S'>S также является верхней гранью. Наименьшая из верхних граней множества X называется точной верхней гранью множества X. Обозначается точная верхняя грань через sup X (супремум).

Учитывая вышесказанное, можно дать эквивалентное определение точной верхней грани.

Определение 20 (определение точной верхней грани). Число S называется точной верхней гранью множества X (S = sup X), если выполняются следующие свойства:

  1. xЈ S " x О X ;
  2. " e>0 $ xe>S-e.

Аналогично определяется и точная нижняя грань, которая обозначается inf X (инфимум).

Определение 21 (определение точной нижней грани). Число I называется точной нижней гранью множества X (I = inf X), если выполняются следующие свойства:

  1. xі I " x О X ;
  2. " e>0 $ xe<I+e.

В случае, когда множество X имеет максимум или минимум, то они совпадают соответственно с sup X и inf X. Если множество X не ограничено сверху, то будем считать, что sup X = Ґ. Аналогично, если множество не ограничено снизу, то inf X = -Ґ. Проиллюстрируем эти понятия на примерах.

Пример 15.

  1. Для множества натуральных чисел N
    inf N = min N = 1, sup N = Ґ
  2. X = {n/n+1, n О N }={1/2,2/3,3/4,....} inf X = min X = 1/2, sup X = 1. Отметим, что 1 не принадлежит данному множеству. Покажем, что sup X = 1 на основании определения. Очевидно, что . Проверим, что " e >0 $ xe>1-e. Для этого решим неравенство
    Отсюда . Таким образом при любом e >0 $ ne, которое можно найти. Задавая e можно определить n, зависящее от e.

Теорема 3 (принцип верхней грани). Всякое не пустое ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет единственную точную верхнюю грань.

Доказательство. Y = {y О R: " x О X, x Ј y } — множество верхних границ. По аксиоме полноты $ c О R, x Ј c Ј y т.е. c О Y, c = min Y Ю c = sup X

Справедлива аналогичная теорема

Теорема 4. Всякое не пустое ограниченное снизу подмножество множества действительных чисел имеет единственную точную нижнюю грань.

 

Бесконечность, непрерывность, предел – с такими понятиями работает математический анализ. Неспроста Зенон был философом: возможно, что математический анализ – это философия математики, более-менее окультуренная под массовое понимание.
Дифференцирование сложной и обратной функций