Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Предел последовательности

Нестандартный анализ – такой вид математического анализа, который занимается исследованием бесконечно малых величин в соответтвии с новой вычислительной системой, основываясь на принципе переноса числовых значений

Пространство действительных чисел.

Аксиоматика действительных чисел.

Определение(пространство действительных чисел). Множество R называется пространством действительных чисел, а его элементы – действительными числами, если выполнены следующие аксиомы:

Аксиома 1 (сложения).

" (x, y) О Rґ R $ z = x+y О R
называемый суммой x и y . (Cимвол $ означает квантор существования и читается "существует".) При этом выполнены следующие свойства:
  1. $ нейтральный элемент 0, называемый нулем, такой, что для любого xО R
    x+0=0+x = x
  2. Для любого элемента xО R существует элемент -x О R , называемый противоположным к x, такой, что
    x+(-x) = (-x)+x = 0
  3. Операция сложения ассоциативна, т.е. для любых x,y,zО R выполнено условие
    (x+y)+z = x+(y+z)
  4. Операция сложения коммутативна, т.е. для любых x,y О R
    y+x = x+y

Аксиома 2 (умножения). " (x,y)О Rґ R ставится в соответствие элемент z = x· y О R, называемый произведением, при этом выполнены следующие условия

  1. Существует нейтральный элемент 1О R\ 0 называемый единицей, такой, что " x О R
    x· 1=1· x = x.
  2. Для любого элемента xО R\ 0 найдется элемент x-1О R \ 0, называемый обратным, такой, что
    x· x-1 = x-1· x = 1.
  3. Операция умножения ассоциативна, т.е. " x,y,zО R\ 0
    x· (y· z) = (x· y)· z.
  4. Операция умножения коммутативна, т.е. для любых x,yО R\ 0
    x· y = y· x.

Аксиома 3 (порядка). Между элементами множества R имеется отношение Ј, т.е. для элементов x,yО R установлено x Ј y или нет. При этом выполняются следующие условия:

  1. x Ј x
  2. x Ј y и y Ј x Ю y = x
  3. x Ј y и y Ј z Ю x Ј z
  4. " x,y О R xЈ y или yЈ x.

Аксиома 4 (связь порядка и сложения). Если x,y,z О R, то из x Ј y следует, что x+z Ј y+z

Аксиома 5 (связь порядка и умножения). Если

x і 0, y і 0, то x · y і 0

Аксиома 6 (непрерывности). Если X,Y М R -непустые, и при " x О X и " y О Y, выполнено условие x Ј y, то $ c О R: x Ј c Ј y.

 

Бесконечность, непрерывность, предел – с такими понятиями работает математический анализ. Неспроста Зенон был философом: возможно, что математический анализ – это философия математики, более-менее окультуренная под массовое понимание.
Исследование выпрямителя однофазного и трехфазного токов Дифференцирование сложной и обратной функций