Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Основные теоремы дифференциального исчисления

Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них — определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой.


Свойства операций над множествами.

Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами:
  1. Коммутативность.

    A И B=B И A
    A З B=B З A

  2. Ассоциативность.

    (A И B) И C=A И (B И C) Непосредственное вычисление пределов.
    (A З B) З C= A З (B З C)

  3. Дистрибутивность.

    (A И B) З C = (A З C) И (B З C)
    (A З B) И C= (A И C) З (B И C)

  4. A И A=A, A З A=A
    A И Ж = A, A З Ж= Ж

  5. Законы де Моргана (законы двойственности).

    1) A И B= A З B
    2) A З B= A И B

    Доказательство данных свойств проводится на основе определения равенства двух множеств.

Заметим, что закон ассоциативности при комбинировании операций объединения и вычитания, вообще говоря, не имеет места.

Пример 5. A = {1; 2; 3; 4}
B = {3; 4; 5; 6}
A \ B= {1; 2}
(A \ B) И B= {1; 2; 3; 4; 5; 6} A
Но (A \ B) И B= A Ы B М A

Определение 3 (декартово произведение).

Декартово произведение двух множеств:

X ґ Y: = {(x,y): x О X и y О Y}

Из определения декартова произведения следует, что, вообще говоря,

X ґ Y Y ґ X,
равенство будет, если X = Y, в этом случае вместо Xґ X записывают X2.

Пример 6.
(рис. 6)

[a; b] ґ [c; d]


Пример 7. R ґ R= R2 — плоскость, где R–множество действительных точек на прямой.

R ґ R ґ R= R3 — пространство

 

Понятие дифференциала является математическим выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из основных понятий современного нелинейного функционального анализа.
Сборник задач по физике http://1c-metod.ru/ Дифференцирование сложной и обратной функций