Основные теоремы дифференциального исчисления

Введение в анализ. Предел последовательности.

Элементы теории множеств

Понятие множества

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ...,M, K,... . Если множество A состоит из элементов a,b,c,..., это обозначается с помощью фигурных скобок: A={a,b,c,...,} . Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: a О A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a П A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N={1,2,3,...,} . Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Ж.

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа : = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Определение 1 (определение равенства множеств). Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x О A следует x О B и обратно, из x О B следует x О A.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

(А=В):= " x((x О A) Ы (x О B)),это означает, что для любого объекта x соотношения xО A и xО B равносильны.

Здесь " – квантор всеобщности (" x читается как "для каждого x").

Определение 2 (определение подмножества). Множество А является подмножеством множества В, если любое х принадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

(A М B) := " x ((xО A) Ю (x О B))Если AМ B, но A№ B, то A – собственное подмножество множества В.

Пример 1. Множество {2,4,6,..., 2n,...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.