Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Дифференциальное исчисление Понятие дифференциала.

Дифференциальное исчисление зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность.

Производная параметрически и неявно заданных функций

Пусть x = f (t),y = y (t), tО [a,b] - достаточно гладкие функции. Тогда говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически заданной функции является уравнение окружности: x = acos t,y = asin t, tО [0,2p]. Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по переменной x.

В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала следует, что y' = dy/dx, dy = y'(t)dt, dx = f'(t)dt. Поэтому

y'(x) = y'(t)/f'(t).
Используя формулу для второго дифференциала, получим
y(2)(x) = d(y'(x))/dx = (y '(t)/f '(t))'dt/f '(t)dt =
= (y ''(t) f '(t)-f ''(t)y '(t))/(f '(t))3.
Чтобы вычислить третью производную, запишем y'''(x) в следующем виде
y'''(x) = d(y''(x))/dx.

Пример 10. Функция задана параметрически

x = a(t-sin t), y = a(1-cos t).
Наити y''(x).
y't = asin t, x't = a(1-cos t).
Отсюда
y'(x) = (asin t)/(a(1-cos t)) = ctg (t/2), t 2p k.
y''(x) = d(ctg (t/2))/(a(1-cos t)) = -1/4sin4t/2.

Пусть функция задана неявно уравнением F(x,y) = 0. Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y(x) функцией от x, а затем из полученного уравнения найти производную y'. Чтобы найти производные высших порядков, нужно дифференцировать необходимое число раз уравнение F(x,y) = 0, и затем выразить нужную производную.

Пример 11. Найти y''(x), если :

x+y = ex-y.
Дифференцируем данное уравнение по x, считая y функцией от x.
1+y'x(x) = ex-y(1-y'x(x)),откуда y'x = (ex-y-1)/(1+ex-y).
Дифференцируя уравнение еще раз, получим
y''x(x) = ex-y(1-y'x(x))2-ex-yy''x(x),
следовательно,
y''x(x) = (1-y'x)2ex-y/(1+ex-y) = 4ex-y/(1+ex-y)3.

 

Дифференциальное исчисление даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Дифференциальное исчисление: производная и дифференциал.
Дифференцирование сложной и обратной функций