Операции над множествами Числовые множества. Свойства предела Критерий Коши Понятие производной

Дифференциальное исчисление Понятие дифференциала.

Дифференциальное исчисление зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность.

Производные и дифференциалы высших порядков

Определение. Значение d(dn-1y) дифференциала от(n-1)-го дифференциала при d x = dx, называется n-м дифференциалом функции y = f(x) и обозначается dny.

Найдем выражение для d2y при этом рассмотрим два случая, когда x -независимая переменная и когда x = f (t), то есть является функцией переменной t.

  1. пусть x = f (t), тогда
    d2 = d (dy)|d x = dx = d (f'(x)dx)|d x = dx =
    = {d (f'(x))dx+f'(x)d(dx)}|d x = dx = f''(x)(dx)2+f'(x)d2x.
    Итак,
    d2y = f''(x)(dx)2+f'(x)d2x. (7)
  2. пусть x - независимая переменная, тогда
    d2y = f''(x)(dx)2,
    так как в этом случае d(dx) = (dx)'d x = 0.
Аналогично, по индукции легко получить следующую формулу, если x - независимая переменная:
dny = f(n)(x)(dx)n.
Из этой формулы следует, что f(n) = dny/(dx)n.

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из формулы для дифференциала второго порядка ( 7).

 

Дифференциальное исчисление даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Дифференциальное исчисление: производная и дифференциал.
Дифференцирование сложной и обратной функций