Линейная алгебра Пределы

Математика задачи примеры решения

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) Этот метод применим к любой системе линейных уравнений. Рассмотрим систему m -линейных уравнений с n -неизвестными:

Пример. Найти полярное уравнение окружности

Решение. Запишем уравнение в виде  или  Воспользуемся формулами (2.25):      – искомое уравнение.

 

Плоскость в пространстве

Пусть Моо, уо, zо) – заданная точка в плоскости a,  = (А; В; С) – вектор, перпендикулярный плоскости a, его называют нормальным вектором плоскости, и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис. 43). Тогда    то есть

(2.28)

(2.28) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Рис. 43

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, получим  Обозначим   уравнение примет вид

(2.29)

(2.29) – общее уравнение плоскости.

Если в этом уравнении А, В, С, Д ¹ 0, то его можно привести к виду

(2.30)

(2.30) – уравнение плоскости в отрезках (аналогично (2.14)). Здесь а, в, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Пусть заданы три точки в плоскости: М11, у1, z1), М22, у2, z2), М33, у3, z3), и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис.44). Тогда      Эти векторы компланарны (лежат в одной плоскости), следовательно, их смешанное произведение равно нулю: или через координаты

(2.31)

(2.31) – уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Рис. 44

Теорема Кронекера – Капелли. (Критерий совместности системы линейных уравнений): Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы
Математика Дифференциалы Пределы