Линейная алгебра Пределы

Математика задачи примеры решения

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , ,  компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор  перпендикулярен этой плоскости, следовательно, ,

а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть .

Достаточность. Пусть . Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда существует параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого , а это противоречит условию . Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны.

Пример 10. Доказать, что точки , ,  и  лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать, что векторы ,  и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю. , , ;

.

Пример 11. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах , , . Правой или левой является тройка векторов , , ?

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов:

.

, значит, векторы образуют левую тройку; .

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы равен нулю.
Математика Дифференциалы Пределы