Линейная алгебра Пределы

Математика задачи примеры решения

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.

Смешанное произведение векторов

Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Пусть известны координаты векторов: , , . Векторное произведение векторов и – это вектор с координатами

.

Скалярное произведение вектора  на вектор :

Таким образом,

. (2.11)

Нетрудно показать, что . 

Отложим данные некомпланарные векторы , ,  от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 18).

 

Рис. 18

По определению скалярного произведения   , где – угол между векторами  и . Но  – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , а , где  – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

Объем тетраэдра, построенного на векторах , ,  (рис. 19) равен .

Рис. 19

Заметим, что если векторы , , образуют правую тройку, то  и` , а если левую, то  и .

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы равен нулю.
Математика Дифференциалы Пределы