План исследования функции и построение графикаы

Математика задачи примеры решения

Правило Лопиталя. Это правило нахождения некоторых пределов функций при по- мощи производных

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная   непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (х0; f(х0)) является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. Пусть, например, (х)< 0 в интервале (х0-e; х0) и > 0 в ин­тервале (х0; х0+e), где e – положительное число. В этом случае график функции в интервале (х0–ε; х0) выпуклый, а в интервале (х0; х0) – вогнутый. Следовательно, точка (х0; f(х0)) по определению является точкой перегиба.

Теорема 7. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция y = f(x) имеет в интервале (a, b) непрерывную вторую производную f''(x) и пусть точка х0 (a, b) является абсциссой точки перегиба графика данной функции. тогда f''(x0) = 0.

Доказательство. Предположим противное: f''(x0) 0, например, для определенности f''(x0)>0. Тогда в силу непрерывности f''(x0)>0 в некоторой окрестности точки х0. Следовательно, в этой окрестности график вогнутый, но это противоречит тому, что х0 – абсцисса точки перегиба. Противоречие доказывает теорему.

Замечание. Могут встретиться случаи, когда в точке х0 вторая производная непрерывной функции не существует, однако точка является абсциссой точки перегиба. Например, для функции у =   у'' = 10/(9 ) у''(0) не существует. Очевидно, что у''<0 при х (-∞;0) и у''>0 при х (0;+∞), то есть точка (0; 0) является точкой перегиба.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции второго порядка. Как мы отметили, не все такие точки являются абсциссами точек перегиба.

Если в интервале слева и справа от x0 производная имеет один и тот же знак, то x0 не является точкой экстремума. При этом, если функция непрерывна в этой точке, то функция монотонна в целом в этих двух интервалах
Математика вычисление производной