План исследования функции и построение графикаы

Математика задачи примеры решения

Правило Лопиталя. Это правило нахождения некоторых пределов функций при по- мощи производных

Теорема . (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b). Рассмотрим два произвольных значения x2 > x1, принадлежащих [а, b]. по формуле Лагранжа   х1<с < х2.(с) > 0 и х2 – х1 > 0, поэтому >0, откуда >, то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f(х) имеет в этой точке экстремум, то .

Доказательство. Пусть, например, функция у = f(х) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f(x) < f(c), то есть f (c) – наибольшее зна­чение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .

Аналогично доказывается случай минимума в точке c.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция   имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не сущест­вует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критиче­ских точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x3 не имеет экс­тремумов, хотя ее производная = 0. Квадратный трехчлен математика решение задач

Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная   при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c   меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале (ce; cфункция возрастает, а на интервале (c; c+e– убывает (при e >0). Следовательно, в точкес функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.

Замечание. Если производная   не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.

Если в интервале слева и справа от x0 производная имеет один и тот же знак, то x0 не является точкой экстремума. При этом, если функция непрерывна в этой точке, то функция монотонна в целом в этих двух интервалах
Математика вычисление производной