Линейная алгебра Пределы

Математика задачи примеры решения

Две матрицы называются однотипными, если они состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов.

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

 (1.19)

Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.

Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.

Доказательство. По теореме mso-ansi-language: EN-US'>r=n, то система имеет единственное решение. А так как система (1.19) имеет всегда тривиальное решение, то в этом случае оно и единственно, то есть при r=n система имеет лишь тривиальное решение.

При r<n система является неопределенной, то есть имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальное.

Замечание. Если m=n, то есть число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r<n в этом случае означает, что определитель системы, то есть det А=0, что следует из определения ранга матрицы.

Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными.
Математика Дифференциалы Пределы