Линейная алгебра Пределы

Математика задачи примеры решения

Две матрицы называются однотипными, если они состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов.

Теорема Кронекера-Капелли

Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство необходимости.

Пусть система (1.13) совместна, то есть существуют такие числа х1=α1, х2=α2, …, хn=αn, что

 (1.15)

Вычтем из последнего столбца расширенной матрицы ее первый столбец, умноженный на α1, второй – на α2, …, n-ый – умноженный на αn, то есть из последнего столбца матрицы (1.14) следует вычесть левые части равенств (1.15). Тогда получим матрицу

ранг которой в результате элементарных преобразований не изменится и . Но очевидно,  и, значит,

Доказательство достаточности.

Пусть  и пусть для определенности не равный нулю минор порядка r расположен в левом верхнем углу матрицы:

Это означает, что остальные строки матрицы  могут быть получены как линейные комбинации первых r строк, то есть m-r строк матрицы можно представить в виде сумм первых r строк, умноженных на некоторые числа. Но тогда первые r уравнений системы (1.13) самостоятельны, а остальные являются их следствиями, то есть решение системы первых r уравнений автоматически является решением остальных уравнений.

Возможны два случая.

1.      r=n. Тогда система, состоящая из первых r уравнений, имеет одинаковое число уравнений и неизвестных и совместна, причем решение ее единственно.

2.      r<n. Возьмем первые r уравнений системы и оставим в левых частях этих уравнений первые r неизвестных, а остальные – перенесем вправо:

 (1.16)

«Свободным» неизвестным xr+1, xr+2, …, xn можно придать какие угодно значения. Тогда соответствующие значения получают неизвестные x1, x2, …, xr. Система (1.13) и в этом случае совместная, но неопределенная.

Замечание. Отличный от нуля минор порядка r, где r<n, будем называть базисным минором. Неизвестные х1, х2, …, хr так же называют базисными, остальные – свободными. Систему (1.16) называют укороченной.

Если свободные неизвестные обозначить хr+1=c1, хr+2=c2, …, хn=cn-r, то базисные неизвестные будут от них зависеть, то есть решение системы m уравнений с n неизвестными будет иметь вид

X = (x1(c1, …, cn-r), x2(c1, …, cn-r), …, xr(c1, …, cn-r), c1, c2, …, cn-r)T, где значок Т означает транспонирование.

Такое решение системы называется общим.

Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными.
Математика Дифференциалы Пределы