Линейная алгебра Пределы

Математика задачи примеры решения

Две матрицы называются однотипными, если они состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов.

Пример. Вычислить ранг матрицы

Решение. Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь

Очевидно минор и ранг матрицы равен двум.

Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, полученной после элементарных преобразований исходной матрицы, приводящих ее к такому виду, когда ниже элементов а11, а22, а33, , аnn стоят нули

Системы n линейных уравнений с n неизвестными

Правило Крамера

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными

 (1.10)

Составим из коэффициентов при неизвестных определитель и назовем его определителем системы:

Совокупность значений неизвестных xi=ai, i =1, 2, …, n, при подстановке которых уравнения системы обращаются в равенства, назовем решением системы.

Докажем, что если определитель системы (1.10) отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное, решение

 i= 1, 2, …, n,

где Δi – определитель, получаемый из определителя Δ заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

Умножим первое уравнение системы (1.10) на А11, второе – на А21, …, n-ое – на Аn1 и все уравнения сложим. Получим:

x1 (a11A11+a21A21+…+an1An1)+

+x2 (a12A11+a22A21+…+an2An1)+…+  (1.11)

+xn (a1nA11+a2nA21+…+annAn1) =

= b1A11+b2A21+…+bnAn1.

В левой части этого выражения множитель при х1 равен определителю системы согласно теореме разложения, а остальные множители при х2, …, хn равны нулю.

В правой части выражения (1.11) мы имеем разложение по элементам первого столбца определителя

Таким образом, из системы (1.11) получено уравнение  

и

Домножая теперь уравнения системы (1.10) на алгебраические дополнения элементов второго, третьего и т.д. и, наконец, n-го столбцов поочередно и складывая эти уравнения, получим

 …,

Таким образом, имеем окончательно , ,…,

Замечание. Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.

Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными.
Математика Дифференциалы Пределы