Физические законы в электротехнике Электрические цепи переменного синусоидального тока

Расчет электрической цепи постоянного и переменного тока

Классический метод расчета переходных процессов

Переходные процессы в любой электрической цепи можно описать системой дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В математике известно несколько методов решения систем дифференциальных уравнений: классический, операционный, численный и др. Название метода расчета переходных процессов адекватно названию математического метода решения системы дифференциальных уравнений, которыми описывается переходные процессы.

Исключая из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа лишние переменные, получим в результате для искомой функции x(t) неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:

,

где х – искомая величина, например i или u; ak – постоянные коэффициенты; F(t) – некоторая функция времени, определяемая источником энергии.

Машины постоянного тока – генераторы и двигатели – находят себе широкое применение в современных электроустановках. Они выполняются с неподвижными полюсами и вращающимся якорем.

Из курса математики известно, что решение (общий интеграл) линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы двух решений: а) - полного решения однородного (без правой части) дифференциального уравнения и б) - частного решения неоднородного дифференциального уравнения для t= ∞ :

.

Вид частного решения  для t = ∞ определяется источниками энергии и соответствует значению искомой функции в установившемся послекоммутационном режиме: . В электротехнике эта составляющая решения получила название установившейся.

Полное решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где А1, А2,…, Аn – постоянные интегрирования; p1, p2,…, pn – корни характеристического уравнения, которое получают из однородного дифференциального, заменив в нем х→1, dx/dt→p и т.д.:

.

Эта составляющая решения не зависит от источников энергии, в электротехнике она получила название свободной: .

Таким образом, решение для искомой функции (тока, напряжения) может быть представлено в принятой в электротехнике форме:

.

Физический смысл имеет только полное решение для искомой функции x(t), а ее отдельные составляющие  и  являются расчетными величинами.

Метод расчета переходного процесса, заключающийся в решении неоднородного дифференциального уравнения классическим методом математики, получил название классического.

Расчет переходного процесса классическим методом состоит из следующих составных частей или этапов:

а) расчет установившейся составляющей ;

б) составление характеристического уравнения и определение его корней p1,…, pn;

в) определение постоянных интегрирования А1, А2,….

Следует отметить, что расчет переходного процесса классическим методом выполняется не в строгом соответствии с математическим методом решения неоднородного дифференциального уравнения. Физические законы электротехники позволяют существенно упростить это решение.

5. Определение установившейся составляющей

Как известно, установившаяся составляющая искомой функции , являясь частным решением неоднородного дифференциального уравнения при t=∞, соответствует значению искомой функции в установившемся после коммутации режиме. Определение этой составляющей математическим методом из решения дифференциального уравнения довольно сложно и трудоемко. Гораздо проще найти эту функцию инженерным методом путем расчета схемы цепи в установившемся режиме после коммутации, что и делают на практике.

 Пример. Определить установившуюся составляющую для тока iу в схеме рис. 130 при заданных значениях параметров элементов: R1=50 Ом, L=100 мГн, R2=100 Ом, C=50мкФ, а)для постоянной ЭДС e(t) =E=150 В = const; б)для синусоидальной ЭДС e(t) =150sinωt, f=50 Гц.

После коммутации ветвь с резистором R2 отключается и не оказывает влияния на режим остальной схемы.

а) При постоянной ЭДС источника e(t)=Е=const ток в схеме протекать не может (сопротивление конденсатора постоянному току равно ∞), следовательно iу(t)=0.

б) При переменной ЭДС источника e(t)=Еmsinωt расчет установившегося режима выполняется в комплексной форме для комплексных амплитуд функций. По закону Ома:

  A

 A

Вид установившейся составляющей соответствует виду источников энергии, которые действуют в схеме цепи.

Методы составления характеристического уравнения Свободный режим схемы не зависит от источников энергии, определяется только структурой схемы и параметрами ее элементов. Из этого следует, что корни характеристического уравнения p1, p2,…, pn будут одинаковыми для всех переменных функций (токов и напряжений). Характеристическое уравнение можно составить различными методами. Первый метод – классический, когда характеристическое уравнение составляется строго в соответствии с дифференциальным по классической схеме. При расчете переходных процессов в сложной схеме составляется система из “m” дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации. Так как корни характеристического уравнения являются общими для всех переменных, то решение системы дифференциальных уравнений выполняется относительно любой переменной (по выбору). В результате решения получают неоднородное дифференциальное уравнение с одной переменной. Составляют характеристическое уравнение в соответствии с полученным дифференциальным и определяют его корни.

Определение постоянных интегрирования Определение постоянных интегрирования производится на заключительном этапе расчета переходного процесса, когда остальные составляющие решения уже найдены. Постоянные интегрирования определяются путем подстановки в решение для искомой функции соответствующих начальных условий.

Операторный метод расчета переходных процессов Если система дифференциальных уравнений, которыми описывается переходной процесс в схеме, решается операционным методом, то и сам метод расчета переходного процесса также называется операционным или операторным. Сущность операторного метода состоит в том, что на 1-ом этапе действительные функции времени i(t), u(t), называемые оригиналами, заменяются некоторыми новыми функциями I(p),U(p), называемыми операторными изображениями. Соответствие между оригиналом функции f(t) и ее операторным изображением F(p) устанавливается на основе прямого преобразования интеграла Лапласа

Способы составления системы операторных уравнений При расчете переходных процессов операторным методом на практике применяется два способа составления системы операторных уравнений. Сущность 1-го способа состоит в том, что для исходной электрической схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Затем каждое слагаемое в этих уравнениях непосредственно подвергается преобразованию Лапласа и таким образом система дифференциальных уравнений преобразуется в соответствующую ей систему операторных уравнений. Составление операторной схемы при этом не требуется.

Переход  от изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t). Формула разложения В результате  совместного решения системы операторных уравнений получают выражение для искомой  функции в операторной форме, т.е. ее операторное изображение F(p). Переход от операторного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к функции времени f(t),  является наиболее трудоемкой частью операторного метода расчета. На практике для  этой цели применяются два способа.

Расчет электрических цепей несинусоидального периодического тока Методические рекомендации по выполнению задания В электрических цепях несинусоидальный ток может присутствовать в двух случаях: при действии источников несинусоидального напряжения или тока; вследствие нелинейности элементов электрической цепи. Способы представления несинусоидальных функций


Электрические цепи переменного синусоидального тока