Магнитные цепи переменного потока Уравнения Максвелла в комплексной форме

Расчет электрической цепи постоянного и переменного тока

Уравнения Максвелла в комплексной форме

Если векторы поля   и  изменяются во времени по синусоидальному закону, то синусоидальные функции времени могут быть представлены комплексными числами и, соответственно, сами векторы будут комплексными:

В записанных выражениях черта снизу символа означает «комплекс», а черта сверху – «вектор», соответственно читается «комплекс-вектор».

Учитывая, что операции дифференцирования в комплексной форме соответствует умножение комплексного изображения на множитель , то в уравнениях Максвелла в комплексной форме время, как координата, в явной форме отсутствует.

С учетом принятых обозначений система основных уравнений Максвелла в комплексной форме получит вид: 

Комплексный вектор Пойтинга можно представить по аналогии с комплексной мощностью:

.

Теорема Умова-Пойтинга в комплексной форме (без вывода): 

.

Плоская гармоническая волна в диэлектрике

Плоской называется электромагнитная волна с плоским фронтом, у которой векторы поля  и  взаимно перпендикулярны и при соответствующем выборе направления осей координат будут зависеть только от одной пространственной координаты z и времени t. Волна называется гармонической, если векторы поля  и  изменяются во времени по синусоидальному закону. Волна распространяется в однородном диэлектрике (), проводимость которого равна нулю ().

Выберем направления осей координат x, y, z так, чтобы вектор   совпадал с осью x , вектор  совпадал с осью y , тогда вектор Пойтинга будет направлен вдоль оси z (рис. 282):

 

Система уравнений Максвелла в комплексной форме:

Раскроем операцию rot в декартовой системе координат и учтем, что векторы поля содержат только по одной пространственной составляющей: 

  (вектор направлен по оси х),

  (вектор направлен по оси у)

Таким образом, система уравнений Максвелла получит вид: 

 

Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно одной из переменных, например, . Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по переменной z и выполним в него подстановку из уравнения (1):

,

где   - фазовая скорость волны.

Таким образом получилось дифференциальное уравнение 2-го порядка  с одной переменной :

Решение для искомой функции:

 

где  - корни характеристического уравнения:

В неограниченной однородной среде отраженные волны отсутствуют, поэтому примем С2=0, С1=Сejy, тогда решение для искомой функции получит окончательный вид: 

  где .

Решение для переменной  получим из уравнения (2) путем подстановки в него найденного решения для переменной :

 где  - волновое сопротивление среды; для пустоты   Ом.

Перейдем от комплексного изображения функций к их оригиналам:

Таким образом, электромагнитное поле в диэлектрике распространяется в виде незатухающих взаимно перпендикулярных в пространстве волн  и  со скоростью  (рис. 283).

Отношение мгновенных значений волн  в любой точке пространства и в любой момент времени постоянно и равно волновому сопротивлению .

Длиной волны λ называют расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2π: 

  откуда следует, что 

Каждая из волн переносит энергию в направлении своего движения, при этом объемные плотности энергий электрического и магнитного полей равны между собой. 

Плоская гармоническая волна в проводящей среде Пусть плоская гармоническая волна проникает в проводящую среду ) через плоскость, нормальную и направленную движения волны.

Поверхностный эффект в плоском листе Ранее было показано, что переменное электромагнитное поле быстро затухает по мере проникновения в толщу проводящей среды. Это приводит к неравномерному распределению поля по сечению магнитопровода, и следовательно, к неравномерному распределению магнитного потока по сечению: на оси магнитопровода плотность магнитного потока наименьшая, а у поверхностного - наибольшая.

Поверхностный эффект в круглом проводе

С помощью законов Ома и Кирхгофа определить, если требуется, остальные токи и напряжения в цепи Пользуясь любыми методами анализа электрических цепей в статическом состоянии, определить операторные изображения искомых токов и напряжений. С помощью теоремы (формулы) разложения или с помощью таблиц обратного преобразования Лапласа, перейти от операторных изображений к функциям мгновенным значений искомых величин.


Векторный потенциал магнитного поля