Магнитные цепи переменного потока Уравнения Максвелла в комплексной форме

Расчет электрической цепи постоянного и переменного тока

Переходные процессы в нелинейных цепях

1. Общая характеристика переходных процессов в нелинейных цепях

Переходные процессы в нелинейных цепях описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях сводится, таким образом, к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений. Значительные трудности, возникающие при таких расчетах, обусловлены сложностью решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Для расчета переходных процессов в нелинейных цепях нельзя указать общие методы, применимые для любого класса цепей. Выбор метода расчета всегда индивидуален и определяется конкретными условиями задачи: структурой схемы цепи, видом уравнения аппроксимации нелинейной характеристики, требованиями к форме искомой функции и др. Ниже перечислены наиболее важные методы, которые применяются для расчета переходных процессов в нелинейных цепях:

  1) метод интегрируемой аппроксимации характеристики нелинейного элемента;

  2) метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента;

  3) метод условной линеаризации нелинейного дифференциального уравнения;

  4) метод численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Переходные процессы в нелинейных цепях могут существенно отличаться от переходных процессов в аналогичных по структуре линейных цепях. Нелинейность характеристики какого-либо элемента цепи может привести или только к чисто количественному изменению переходного процесса или к его качественным изменениям. В первом случае на некоторых отрезках времени скорость переходного процесса увеличивается, а на других отрезках времени  - замедляется. Во втором случае в цепи возникает качественно новые явления, принципиально невозможные в линейных цепях, например, незатухающие автоколебания с произвольной постоянной или плавающей частотой.

Расчет переходного процесса методом интегрируемой аппроксимации

Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента такой функцией, которая позволяет проинтегрировать дифференциальное уравнение цепи стандартным методом.

Ценность метода заключается в том, что в результате интегрирования, решение для искомой функции получается в общем виде, что позволяет исследовать влияние на искомую функцию различных факторов. Метод применим главным образом к простым электрическим цепям, процессы в которых описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Рассмотрим применение данного метода к расчету переходного процесса при включении нелинейной катушки i(y) к источнику постоянной ЭДС E (рис. 245). Вебер-амперную характеристику нелинейной катушки аппроксимируемым уравнением  . Дифференциальное уравнение цепи составляется по 2-му закону Кирхгофа: , откуда следует:

,

где обозначены x=y, a=.

По таблице интегралов находим решение:

Настоящая задача имеет аналитическое решение при аппроксимации нелинейной характеристики некоторыми другими уравнениями, например i=ky3,  i=ky4.

 

 

 

 

Расчет переходного процесса методом кусочно-линейной аппроксимации Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента отрезками прямой. При такой аппроксимации дифференциальные уравнения цепи на отдельных участках будут линейными и могут быть решены известными методами (классическим или операторным). При переходе от одного участка к другому в дифференциальных уравнениях будут скачком изменяться постоянные коэффициенты, что повлечет скачкообразное изменение коэффициентов в их решении. Решения для отдельных участков сопрягаются между собой на стыках участков  на основе законов коммутации.

Расчет переходного процесса методом линеаризации дифференциального уравнения Сущность данного метода заключается в том, что в нелинейном дифференциальном уравнении, описывающем переходной процесс, пренебрегают нелинейностью второстепенных членов этого уравнения, при этом функциональные коэффициенты в этих членах заменяются постоянными. После такой замены нелинейное дифференциальное уравнение превращается в линейное и решается известными методами (классическим или операторным).

Расчет переходного процесса методом численного интегрирования дифференциального уравнения Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Как известно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелинейных) может быть решена методом численного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Для определения последних составляют по второму закону Кирхгофа для этих контуров п уравнений в виде

,

где Rkk – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур k или всегда положительное собственное сопротивление контура;

 Rkl = Rlk  – сумма сопротивлений элементов, входящих в контуры k и l, причем, если направления контурных токов в общей для контуров k и l ветви совпадают, то значение Rkl положительно, в противном случае оно отрицательно;

 Ekk – алгебраическая сумма ЭДС источников, включенных в ветви, образующие контур k;

 Rkk+m – общее сопротивление k+m контура с контуром, содержащим источник тока Jm.


Векторный потенциал магнитного поля