Связность, односвязность, многосвязность. Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться. Множество точек (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется связным, если лю-бые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множествуТройной интеграл Определение тройного интеграла
Рассмотрим некоторую поверхность
.
Определение 1. Поверхность
называется простой поверхностью, если она распадается на конечное число частей, имеющих уравнение
, или
, или
, причём функции
и
непрерывны в некоторой простой области
.
В дальнейшем мы будем рассматривать пространственные области, ограниченные простыми поверхностями, мы будем выделять простые пространственные области, определения которых аналогично определению простой плоской области, рассмотренной выше.
Остановимся теперь на понятии объёма тела
, ограниченного простой поверхностью
. Для этого поместим тело
целиком внутрь параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям
,
и
. Разобьём далее параллелепипед плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на ячейки. Обозначим через
сумму объёмов ячеек, целиком лежащих внутри тела
и не имеющих ни одной общей точки с поверхностью
, ограничивающей тело
. Обозначим через
сумму объёмов ячеек, имеющих с телом
или его поверхностью хотя бы одну общую точку. Очевидно, что
. Наибольший из диаметров ячеек назовём рангом дробления
. Если существует общее значение
при условии, что число ячеек бесконечно увеличивается, а ранг дробления стремится к нулю, то число
называется объёмом тела
, а само тело называется кубируемым.
Задача. Вычислить.
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Рассмотрим класс множеств
. Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс
всех борелевских множеств на прямой.
Рассмотрим класс множеств
. Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс
всех борелевских множеств на прямой.
Рассмотрим класс множеств
. Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс
всех борелевских множеств на прямой.
Рассмотрим класс множеств
. Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс
всех борелевских множеств на прямой.
Рассмотрим класс множеств
. Доказать, что борелевским замыканием этого класса является класс
всех борелевских множеств на прямой.
Рассмотрим некоторую поверхность
. Поверхность
называется простой поверхностью, если она распадается на конечное число частей, имеющих уравнение
, или
, или
, причём функции
и
непрерывны в некоторой простой области
.
Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.
Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если
Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и