Вычисление несобственных интегралов

Дифференциальные уравнения Контрольная по математике

Задача . Изменить порядок интегрирования.

Задача. Вычислить.

Интеграл Лебега и его простейшие свойства.

Свойства счетной аддитивности и абсолютной непрерывности интеграла Лебега как функции множества.

Предельный переход под знаком интеграла Лебега: теорема Леви о монотонной сходимости для последовательностей и рядов; теорема Фату; теорема Лебега об ограниченной сходимости.

Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

Пространство . Сходимость в среднем. Полнота пространства .

Пространство . Сходимость в средне-квадратичном. Связь с другими видами сходимости. Полнота пространства . Всюду плотные подмножества в  и в .

Пример. Вычислить интеграл  с помощью интеграла, зависящего от параметра .

Решени е. Заметим, что интеграл  представляет собою функцию переменной , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная функция  и её частная производная по 

непрерывны при всех  и любом значении . Следовательно, функцию  можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим

, т.е. .

Интегрируя получим:

.

Для определения значения постоянной  положим в этом тождестве ; т.к. , то получаем . Итак, получим

При , в частности, имеем .

Вычислить неопределенные интегралы.

Задача Вычислить определенные интегралы.

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла второго рода ни чем не отличается от вычисления интеграла первого и сводится к интегрированию по параметру. Направление интегрирования определяется условиями задачи.
Контрольная работа