Вычисление несобственных интегралов

Дифференциальные уравнения Контрольная по математике

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

 Пример  Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Выгодно взять $ u=x$и $ dv=e^{2x}dx$, так что получаем:

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=x\\ 
 dv=e^{2...
...ht\vert=
 x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1
 -\int_0^1\frac{1}{2}e^{2x}dx=$

   

$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\int_0^1e^{2x}dx=
 \frac{e^2}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=$

   

$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(e^2+1).$

   


При этом возникший по дороге внеинтегральный член $ x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1$мы вычислили так:

$\displaystyle x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=
1\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot1}-0\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot0}=\frac{e^2}{2}.$    

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами. 2-ая теорема Вейерштрасса. Интеграл Фурье и его свойства.

Преобразование Фурье, понятие об обратном преобразовании Фурье. Аналог признака Дини (без доказательства). Синус и косинус- преобразования Фурье.

УПРАЖНЕНИЯ

Разложить в ряд Фурье функцию  в интервале , считая ее периодической с периодом . Записать для нее равенство Парсеваля.

Разложить в ряд Фурье функцию  Записать равенство Парсеваля.

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$ применив формулу интегрирования по частям два раза подряд.

Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл

Признак сравнения в предельной форме

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится.

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла второго рода ни чем не отличается от вычисления интеграла первого и сводится к интегрированию по параметру. Направление интегрирования определяется условиями задачи.
Контрольная работа