Вычисление несобственных интегралов

Геометрические и физические приложения кратных интегралов Контрольная по математике

Рассмотрим некоторые случаи рационализации интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы вида . Рассмотрим интегралы указанного типа, где  – и действительные числа;  – рациональные числа.

Пусть  – наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей, т.е. , , где  – целые числа. Покажем, что такой интеграл рационализируется подстановкой .

В самом деле,

    и ,

так что

,

где  – рациональная функция аргумента .

Пример. Найти .

○ 

.  ●

Исследовать на непрерывную дифференцируемость функцию  и возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла, если .

Найти производную  функции .

Доказать, что интеграл  сходится равномерно при   для любой последовательности  последовательность  сходится равномерно на  при 

Найти .

Интегралы вида . Среди интегралов от иррациональных функций такие интегралы имеют наибольшие практическое применение. Рассмотрим несколько способов интегрирования этих функций.

Интегралы вида , как известно, могут быть выражены через интегралы от рациональных алгебраических функций.

Интегралы 1-го типа всегда можно представить в виде

где  – многочлен -й степени с неопределенными коэффициентами,  – также неопределенный коэффициент.

В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.
Контрольная работа