Вычисление несобственных интегралов

Интегральное исчисление Контрольная по математике

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).

Пример. Найти .

Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, согласно СР: (2.2), получим .

Положим    , тогда . Следовательно,

. ●

Интегралы вида

  (6.16.)

сводятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки .

Пример. Найти .

Положим   , тогда . Следовательно,

.

Общая схема применения определённого интеграла

1. Методика применения определённого интеграла к решению практических задач.

Выше мы рассмотрели различные случаи применения определённого интеграла для решения геометрических задач. Но область применения определённого интеграла очень обширна и независимо от конкретного содержания задачи приходится действовать по вполне определённой схеме.

Пусть требуется определить некоторую постоянную величину , связанную промежутком . Эту величину мы будем предполагать аддитивной, т.е. такой, что разложение отрезка  точкой   на части  и  влечёт за собой разложение на соответствующие части величины , причём значение величины , соответствующее всему отрезку , равно сумме её значений, соответствующих отрезкам  и .

Переходя к решению задачи по определению величины , разложим отрезок  при помощи точек

на   частей

  - длина -го частичного промежутка,  - ранг дробления. В соответствии с разложением промежутка  величина   разложится на  слагаемых :

.

Пример. Найти . Найти .

Метод интегрирования по частям Пример. Найти . Найти .

Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл. Пример. Найти  Найти .

Иногда при нахождении неопределенного интеграла приходится применять различные методы интегрирования. Пример. Найти  .

Среди правильных дробей различают четыре типа так называемых простейших дробей Поскольку интегралы от простейших дробей – элементарные функции, то отсюда вытекает следующий вывод: интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции. Представить в виде суммы простейших дробей рациональные дроби примера Найти интегралы от рациональных дробей

Найти . Найти .

 

Если кривая, по которой ведётся интегрирование, является контуром (т.е. замкнута), то, как и для криволинейного интеграла по длине дуги, в качестве начальной (и совпадающей с ней конечной) точки можно взять любую точку кривой.
Контрольная работа