Геометрические приложения определенного интеграла

Интегральное исчисление Контрольная по математике

Пример. Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 3, y'=(3x3-2x+1)'×sin x + (3x3-2x+1)×(sin x)' =
= (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cos x.

Пример. Найти y', y = tg x +.

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ()' = +  = .

Пример. Найти производную сложной функции y=,
u=x4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y'x =y 'u u'x =()'u(x4 +1)'x =(2u +. Так как u=x4 +1,то
(2 x4 +2+.

Теорема существования определённого интеграла

Возникает вопрос: всякая ли функция  интегрируема на данном промежутке . Предварительно дадим определение кусочно-непрерывной функции.

Определение. Функция   называется кусочно-непрерывной на данном промежутке , если на этом промежутке она ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва.

Геометрически кусочно-непрерывную функцию можно изобразить линией, состоящей из конечного числа непрерывных участков. Очевидно, что функция, непрерывная на промежутке , является частным случаем кусочно-непрерывной функции.

Приведём теперь без доказательства теорему существования определённого интеграла.

Теорема (достаточное условие интегрируемости). Если функция  кусочно-непрерывна на промежутке , то на этом промежутке она интегрируема, т.е. существует .

Заметим, что класс функций, указанных в теореме, практически исчерпывает все функции, встречающиеся в приложениях. В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваются только такие функции.

Найти производную функции y=.

С помощью дифференциала приближенно вычислить величину   и оценить допущенную погрешность.

Найти , если , и  – независимая переменная.

Функция  есть первообразная для функции  на , поскольку  .

Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям. Интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Применяя сочетание методов подведения под знак дифференциала и разложения, интегралы вида  и  

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определённого интеграла по параметру. Если кривая задана параметрически, то этот переход не вы-зывает трудностей; если дано качественное словесное описание кривой, то основной трудностью может быть введение параметра на кривой.
Неопределенный интеграл в экономике