Геометрические приложения определенного интеграла

Интегральное исчисление Контрольная по математике

Пример. Найти предел последовательности 

Символ n! (читается “эн факториал”) вычисляется по формуле (СР 9.2), т.е.

,

.

Имеем

.

Пример. Вычислить 

.

Пример. Вычислить 

  .

 Пример. Найти векторное произведение векторов и

.

  = (2, 5, 1); = (1, 2, -3)

.

 Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

 

 (ед2).

 Пример. Доказать, что векторы , и  компланарны.

 , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.

  Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

(ед2).

Пример . Вычислить 

Число е . Рассмотрим последовательность . К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.

Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14. Решение. Так как f ¢ (x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

График параболы, заданной уравнением , не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси , пересекает его в двух точках при всех значениях  , кроме Исследовать на четность и нечетность функцию . Построить график функции . Построить график функции .

Дана последовательность . Доказать, что ее предел .

Доказать, что. Пример. Вычислить 

Свойства криволинейного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место все шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Сформулировать и доказать их самостоятельно. Однако для этого интеграла справедливо и седьмое, персональное свойство
Неопределенный интеграл в экономике