Геометрические приложения определенного интеграла

Примеры решения задач Контрольная по математике

Пример. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

 2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,

  x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

 x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица`А=. Имеем `А ~   ~ , следовательно, исходная система равносильна такой:

 x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

 5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

  0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.

Cвойства обратных матриц.

 Укажем следующие свойства обратных матриц:

(A-1)-1 = A;

 2) (AB)-1 = B-1A-1

 

 3) (AT)-1 = (A-1)T.

Пример.  Дана матрица А = , найти А3.

А2 = АА =  = ; A3 = = .

 Отметим, что матрицы  и  являются перестановочными.

 Пример. Вычислить определитель .

 = -1

  = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

  = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

=   = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44. 

Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач Рассмотрим формулу простых процентов

В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Пример . Решить методом Крамера систему уравнений Решить систему уравнений методом Гаусса

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 градусов

Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна: Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду

У теоремы Лейбница есть исключительно важный для приложений вывод - вывод о том, что сумма знакочередующегося ряда (или, как говорят, ряда лейбницевского типа) по модулю не больше модуля первого члена
Неопределенный интеграл в экономике