Вычислить длины дуг кривых

Методы интегрирования Контрольная по математике

Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе. Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, надо:

Найти стационарные точки функции, для чего следует решить систему уравнений

Вычислить в стационарных точках значения функции

Найти наибольшие и наименьшее значение функции на каждой линии, ограничивающей область;

Сравнить все полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее – наименьшим значением функции в замкнутой области.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  в ограниченной замкнутой области D: 

Решение: Точка  являются точкой экстремума (максимума или минимума) функции z=f(x,y), если значение функции в этой точке соответственно больше или меньше значений, принимаемых ее в некоторой окрестности точки , то есть при всех x и y достаточно близких к и . Точка P, координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции f(x,y) называются стационарной точкой этой функции.

Найдем стационарные точки функции z(x,y)

 

Стационарная точка y функции z одна. Это точка 0.

Входит ли точка (0,0) в область D? Построим эту область.

-  - парабола с вершиной в точке (0,-4). Точки пересечения с осью x: , ,

- y=0 – ось x.

Точка (0,0) входит в область D. Установим, является ли стационарная точка 0 точкой экстремума. Это делается так: Пусть  стационарная точка функции z=f(x,y). Вычислим в этой точке

. .

Если , то функция f(x,y) имеет в точке экстремум:

max-при A<0 и min при A>0.

Если , то точка не является точкой экстремума.

Если , то требуется дополнительное исследование.

Исследуем нашу функцию z по формулам.

3. 

, точка (0,0) не является точкой экстремума.

4. Исследуем поведение функции на границе.

Так как Z не имеет ни max ни min, ее наибольшим и наименьшем значением является наибольшее и наименьшее из значений, принимаемых на границе.

  Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее из значений, принимаемых на границе.

4а. Рассмотрим верхнюю границу y=1. На ней функция Z(x,1) превращается в  

 в этой точке возможен экстремум. Знак производной меняется с – на +, то есть в точке  - минимум z =-2.25

при  

В точке

4б. Рассмотрим нижнюю границу

В точке  производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума

В точке  производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума . При  функция z уже вычислялось. Видим, что от функция убывает до , затем возрастает до  а затем убывает до .

То есть наименьшее значение для всей границы , а наибольшее

Ответ: Наибольшее значение функции z в замкнутой области D , наименьшее .

Формула Грина

Связывает двойной и криволинейный интегралы.

Пусть G - плоская область и ее граница L является кусочно-гладким контуром. Пусть в замкнутой области  заданы функции P(x,y), Q(x,y), непрерывные на  вместе со своими частными производными. Тогда справедлива формула .

Формула Стокса

Пусть S простая гладкая двусторонняя поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром L. Формула Стокса: . Или если заменить поверхностный интеграл второго рода на поверхностный интеграл первого рода, то получим , где cosa, cosb, cosg означают направляющие косинусы нормали, отвечающей выбранной стороне поверхности.

Полагая , эту формулу можно переписать так: , т.е. циркуляция векторного поля по контуру L равна потоку вихря этого поля через поверхность S, ограниченную контуром L.

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных

 Вычислить двойной интеграл: . По области D: y=x2, y=2-x2. Область D изобразить на чертеже.

Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла

Для определения горизонтальных асимптот находим ,  и . Значит, горизонтальная асимптота одна (ось ). Сделайте подстановку  Определите новые пределы интегрирования Разделите отрезок интегрирования на 10 равных частей точками Стационарные точки  находятся вне рассматриваемой области. По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат

Исследовать на экстремум функцию . Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y-xy в области D: y = x,y = 4, x = 0.
Вычислить производную функции