Вычислить длины дуг кривых

Методы интегрирования Контрольная по математике

Теория поля

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то вектор

  (53)

называется градиентом величины U в соответствующей точке.

Пусть дано векторное поле . Интеграл

  (54)

называется линейным интегралом от вектора  вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора  вдоль кривой L. Примеры решения и оформления задач контрольной работы Математика Примеры решения задач

Пример 9.

Вычислить циркуляцию векторного поля  по контуру Г, состоящему из частей линий   (направление обхода положительно).

Решение.

Воспользуемся формулой Грина:

Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

  (55)

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S  G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Поверхностный интеграл 1-го рода

   (56)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Сферические координаты

Сферическими координатами точки  называются параметры ,  и  (рис. 14), где

расстояние от точки  до начала координат

 - угол, отсчитываемый от оси  до вектора ;

   - угол между плоскостью  и плоскостью, проходящей через точку  и ось   ().

Очевидно, что в сферических координатах координатными поверхностями являются также поверхности : -  - сфера радиуса  с центром в начале координат;  - конус с вершиной в начале координат, образующие которого составляют угол  с осью ;  - плоскость, проходящая через ось  и образующая угол  с координатной плоскостью .

Сфера  и конус  пересекаются по окружности, которая представляет собой координатную линию . Сфера  и плоскость   пересекаются по окружности (координатная линия ). Конус  и плоскость   пересекаются по прямой (координатная линия ). Орты криволинейной сферической системы координат изображены на рис. 14.

Непосредственно из рис. 14 можно установить связь между декартовыми и сферическими координатами.

 .

Найти поток векторного поля  через часть плоскости  ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Найти дивергенцию и ротор векторного поля  где

Проверить, является ли векторное поле потенциальным, и в случае положительного ответа найти потенциал и, считая, что в начале координат он равен нулю.

Вычислить значение производной сложной функции u = ex-2y, где , y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x3+y3+z3-3xyz = 4, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
Вычислить производную функции