Методы интегрирования Контрольная по математике

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Пример. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость   проектируется на эту плоскость в виде прямой

х = 0):

Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:

  посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:

7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):

  (19)

8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:

 

 

  (20)

 

  (21)

 где γ (х, y, z) – плотность вещества.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

  (22)

9) Координаты центра масс тела:

 

  (23)

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ, ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ

  Если 1)  и  конечны;

2)   непрерывна на  и имеет первообразную , то определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

 . (7)

 Пример 40. .

 Интегралы а) ; б) ; в)

относятся к несобственным интегралам I-го рода, т. к. для них не выполнено условие (1), а именно: один из пределов интегрирования (случая а) и б) ) или оба (случай в) ) не являются конечными, а условие (2) выполнено. Вычисление таких интегралов можно проводить по формуле (7), при этом  считается как предельное значение, которое может быть конечным, бесконечным или не иметь смысла.

 Пример 41. .