Вычислить значение производной сложной функции u = ex-2y, гдеГеометрические и физические приложения кратных интегралов
Пример. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями
![]()
Решение.
Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость
проектируется на эту плоскость в виде прямой
х = 0):
Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:
посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:
7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):
(19)
8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:
(20)
(21)
где γ (х, y, z) – плотность вещества.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:
(22)
9) Координаты центра масс тела:
(23)
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ, ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Если 1)
и
конечны;
2)
непрерывна на
и имеет первообразную
, то определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
. (7)
Пример 40.
.
Интегралы а)
; б)
; в)
относятся к несобственным интегралам I-го рода, т. к. для них не выполнено условие (1), а именно: один из пределов интегрирования (случая а) и б) ) или оба (случай в) ) не являются конечными, а условие (2) выполнено. Вычисление таких интегралов можно проводить по формуле (7), при этом
считается как предельное значение, которое может быть конечным, бесконечным или не иметь смысла.
Пример 41.
.